作业帮等比数列．｛An｝的各项均为正数,且A5A6+A4A7=18,则log3a1+log3A2+…+log3A10等于多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:41:56
等比数列．｛An｝的各项均为正数,且A5A6+A4A7=18,则log3a1+log3A2+…+log3A10等于多少?
等比数列．｛An｝的各项均为正数,且A5A6+A4A7=18,则log3a1+log3A2+…+log3A10等于多少?
等比数列．｛An｝的各项均为正数,且A5A6+A4A7=18,则log3a1+log3A2+…+log3A10等于多少?
10
A5A6+A4A7=18
(A1*q^4)*(A1*q^5) + (A1*q^3)*(A1*q^6)=18
(A1^2)*(q^9)=9
而log3A1+log3A2+…+log3A10=
log3(A1*A2*…*A10)=log3(A1^10 * q^45)
=log3 ( (A1^2 * q^5) ^ 5 )
=log3(9^5)=log3(3^10)=10
∵a5*a6=a4*a7=a3a8=a2a9=a1a10
∴a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10=9
∴log3a1+log3a2+…+log3a10
=(log3a1+log3a10)+(log3a2+log3a9)+(log3a3+log3a8)+(log3a4+log3a7)+(log3a5+log3a6)
=log3(a1*a10)+log3(a2*a9)+log3(a3*a8)+log3(a4*a7)+log3(a5*a6)
=2×5
=10
由于A5A6=(a1*q^4)*(a1*q^5)=a1²*q^9
同理A4A7=a1²*q^9
所以2×a1²*q^9=18
即a1²*q^9=9
log3a1+log3A2+…+log3A10=log3(a1*a1*q*a1*q^2....a1*q^9)=log3(a1^10*q^45)=log3(a1²*q^9)^5=5log3(a1²*q^9)=5*log39=10
因为是等比数列，所以有A5A6=A4A7
所以A5A6=A4A7=9 有An=A（11-n）
求式=log3（A1A2A3……A10）=log3(A1A10)+log3(A2A9)+log3(A3A9)+……+log3(A5A6)=2+2+2+……+2（5个2）=10
a5a6+a4a7=2(a1)^2(q^9)=18,则(a1)^2(q)^9=9(等比数列性质）
log3a1+log3a2+.....+log3a10=log3(a1a2a3......a10)=log3[(a1)^10(q)^45]=log3[(a1)^2(q)^9]^5
=log3(9^5)=log3(3^10)=10