作业帮奥数中的余数问题有一列数,第一个是1,第二个是3,从第三个开始,每个都是前面两个和的个位数字,1,3,4,7,1,8,9~~,连续取2013个,使这2013个数的和最大,那么最大的和是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 19:30:03
奥数中的余数问题有一列数,第一个是1,第二个是3,从第三个开始,每个都是前面两个和的个位数字,1,3,4,7,1,8,9~~,连续取2013个,使这2013个数的和最大,那么最大的和是多少
奥数中的余数问题
有一列数,第一个是1,第二个是3,从第三个开始,每个都是前面两个和的个位数字,1,3,4,7,1,8,9~~,连续取2013个,使这2013个数的和最大,那么最大的和是多少
奥数中的余数问题有一列数,第一个是1,第二个是3,从第三个开始,每个都是前面两个和的个位数字,1,3,4,7,1,8,9~~,连续取2013个,使这2013个数的和最大,那么最大的和是多少
首先,由题目可知,设第n个数为an（n为正整数）,那么an的每一项都大于0,所以连续取2013个,使这2013个数的和最大,并求最大和相当于求这个数列的前2013项和.
而这个数列具有一定的周期性,因为按此规定,a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,a5=1,a6=8,a7=9,a8=7,a9=6,a10=3,a11=9,a12=2,a13=1,a14=3,所以从a13开始,相当于又回到了a1.所以此数列以12为周期,即a(n+12)=an,而2013除以12,商167余8,表明数列an的前2013项和s2013=(a1+a2+...+a12)*167+(a1+a2+...+a8)=(a1+a2+...+a8)*168+(a9+a10+a11+a12)*167=(1+3+4+7+1+8+9+7)*168+(6+3+9+2)*167=6720+3340=10060
所以最大和是10060
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我们可以推出
1 3 4 7 1 8 9 7 6 3 9 2 ……每12个数一循环 每个循环之和60
2013÷12=167…9 去掉三个连续最小的 2+1+3=6
168×60-6=10080-6=10074
(1+3+4+7+1+8+9+7+6+3+9+2) 这是一个循环12个数，2013/12=167余9
所以和=(1+3+4+7+1+8+9+7+6+3+9+2)*167+(7+1+8+9+7+6+3+9+2)=10074
1,3,4是连续最小的3个数，去掉