作业帮AB是圆O的直径,AM,BN分别切圆O于A,B.CD交AM,BN于D,C.DO平分∠ADC.(1)求证：CD是圆O的切线.（2）若AD=4,BC=9,求圆O的半径R{注：本题请自己画图}
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 03:52:40
AB是圆O的直径,AM,BN分别切圆O于A,B.CD交AM,BN于D,C.DO平分∠ADC.(1)求证：CD是圆O的切线.（2）若AD=4,BC=9,求圆O的半径R{注：本题请自己画图}
AB是圆O的直径,AM,BN分别切圆O于A,B.CD交AM,BN于D,C.DO平分∠ADC.
(1)求证：CD是圆O的切线.（2）若AD=4,BC=9,求圆O的半径R{注：本题请自己画图}
AB是圆O的直径,AM,BN分别切圆O于A,B.CD交AM,BN于D,C.DO平分∠ADC.(1)求证：CD是圆O的切线.（2）若AD=4,BC=9,求圆O的半径R{注：本题请自己画图}
（1)作OE⊥DC于E
由∠DAO＝DEO＝90°,∠ADO＝∠EDO,OD＝OD
得△AOD≌EOD
∴OE＝OA
∴CD是⊙O的切线 （与圆心距离等于半径的直线是圆的切线）
（2)由切线长定理得,DE＝AD＝4,CE＝BC＝9,DC＝13
作DF⊥BC于F
易得ABFD是矩形,BC＝AD＝4
∴FC＝9-4=5
∴DF＝√（DC²－FC²）＝12
∴AB＝DF＝12
AO＝1/2AB＝6 即所欲求.
OE⊥CD于E
∵AB是直径,BM、AM分别切圆O于A、B
∴OA⊥AM，OB⊥BN
∴∠OAD=∠OED=90°
∵OD平分角ADC
∴∠ADO=∠EDO
在△AOD和△DOE中
∠OAD=∠OED，∠ADO=∠EDO，OD=OD
∴△AOD≌△DOE(AAS)
∴OA=OE
∵OA、OE是圆的半径，且OE⊥CD
全部展开
OE⊥CD于E
∵AB是直径,BM、AM分别切圆O于A、B
∴OA⊥AM，OB⊥BN
∴∠OAD=∠OED=90°
∵OD平分角ADC
∴∠ADO=∠EDO
在△AOD和△DOE中
∠OAD=∠OED，∠ADO=∠EDO，OD=OD
∴△AOD≌△DOE(AAS)
∴OA=OE
∵OA、OE是圆的半径，且OE⊥CD
∴CD是圆O的切线
2、当AD=4，BC=9，求圆O的半径。
∵CD、BM、AM是圆的切线,
∴AD=DE=4，BC=CE=9
在△BOC和△COE中
OE=OB，OC=OC，BC=CE
∴△BOC≌△COE(SSS)
∴∠BCO=∠ECO=1/2∠BCD
∵OA⊥AM，OB⊥BN
∴AM∥BN
∴∠ADC+∠BCD=180°
∵∠ADO=∠EDO=1/2∠ADC
∠BCO=∠ECO=1/2∠BCD
∴∠EDO+∠ECO=90°
∴∠COD=90°
∵∠EDO+∠ECO=90°
∠DOE+∠COE=90°
∠DOE+∠EDO=90°
∴∠DOE=∠ECO
∠EDO=∠COE
∴Rt△DOE∽Rt△COE(学过射影定理，可以直接用）
∴OE²=CE×DE=4×9
CE=OA=6
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