高一上学期关于函数的数学题:定义在R上的函数f(x),对任意的函数,x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) ,且f(0)≠0,.(1) 求证:f(0)=1 (2)求证:f(x)是偶函数.(要求:解题思路清晰)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 01:13:21
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高一上学期关于函数的数学题:定义在R上的函数f(x),对任意的函数,x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) ,且f(0)≠0,.(1) 求证:f(0)=1 (2)求证:f(x)是偶函数.(要求:解题思路清晰)
高一上学期关于函数的数学题:
定义在R上的函数f(x),对任意的函数,x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) ,且f(0)≠0,.(1) 求证:f(0)=1 (2)求证:f(x)是偶函数.(要求:解题思路清晰)
高一上学期关于函数的数学题:定义在R上的函数f(x),对任意的函数,x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) ,且f(0)≠0,.(1) 求证:f(0)=1 (2)求证:f(x)是偶函数.(要求:解题思路清晰)
1.证 令 x=y=0 得 2f(0) = 2f(0)^2 因为 f(x) ≠ 0 故 f(x) = 1
2.解 令y=0 得 f(x)=f[(x+y)/2 + (x-y)/2]
=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2] - f[(x+y)/2 - (x-y)/2]
=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2] - f(y)
f(-x) = f[(y-x)/2 - (y+x)/2]
= 2f[(y-x)/2]f[(y+x)/2] - f([(y-x)/2 + (y+x)/2)
= 2f[(y-x)/2]f[(y+x)/2] - f(y)
f(x)=f(-x)
故函数f(x) 为偶函数
(1)可令X=Y=0 得f(0)+f(0)=f(0)*f(0)
又因为f(0)≠0
所以f(0)=1
(2)
因为f(x)定义在R上,定义域关于原点对称,
令X=Y 得f(2x)+f(0)=2f(x)f(x)
再令X=-Y 得f(2x)+f(0)=2f(x)f(-x)
两式相减得 2f(x)f(x)=2f(x)f(-x)
由f...
全部展开
(1)可令X=Y=0 得f(0)+f(0)=f(0)*f(0)
又因为f(0)≠0
所以f(0)=1
(2)
因为f(x)定义在R上,定义域关于原点对称,
令X=Y 得f(2x)+f(0)=2f(x)f(x)
再令X=-Y 得f(2x)+f(0)=2f(x)f(-x)
两式相减得 2f(x)f(x)=2f(x)f(-x)
由f(2x)+f(0)=2f(x)f(x)若f(x)=0得f(0)=0 与条件矛盾
所以f(x)≠0
所以两边除以f(x) 得f(-x)=f(x)
所以f(x)是偶函数。
收起
(1)设x=y=0
则f(0)+f(0)=2f(0)*f(0)
移项,f(0)*(f(0)-1)=0
因为f(0)不为0
所以f(0)=1;
(2)令x=0,
所以f(y)+f(-y)=2*f(0)*f(y)
因为f(0)=1,所以f(y)+f(-y)=2*f(y)
移项得f(y)=f(-y)
所以f(x)是偶函数