已知R,S,T是多项式P(X)=X^3-2007x+2002的三个根求证:rs+st+rt=2007且RST=-2002我知道这个定理叫做韦达定理,但是初中所学的韦达定理仅限于一元二次方程,关于一元N次方程的韦达定理应该怎么证
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 07:31:15
已知R,S,T是多项式P(X)=X^3-2007x+2002的三个根求证:rs+st+rt=2007且RST=-2002我知道这个定理叫做韦达定理,但是初中所学的韦达定理仅限于一元二次方程,关于一元N次方程的韦达定理应该怎么证
已知R,S,T是多项式P(X)=X^3-2007x+2002的三个根
求证:rs+st+rt=2007且RST=-2002
我知道这个定理叫做韦达定理,但是初中所学的韦达定理仅限于一元二次方程,关于一元N次方程的韦达定理应该怎么证明呢
已知R,S,T是多项式P(X)=X^3-2007x+2002的三个根求证:rs+st+rt=2007且RST=-2002我知道这个定理叫做韦达定理,但是初中所学的韦达定理仅限于一元二次方程,关于一元N次方程的韦达定理应该怎么证
题目有误,看清楚了!
因为r.s.t是他的三个根,所以P(x)=K(x-r)(x-s)(x-t)=X^3-2007x+2002
左边展开合并同类项得P(x)=KX^3-K(r+s+t)X^2+K(rs+st+rt)X-RST
所以K=1,R+S+T=0,rs+st+rt=-2007,RST=-2002
反正得改一个地方!
代入,反求.
先假定rs+st+rt=2007且RST=-2002成立,则
r=-2002/st;∴rs+st+rt=-2002/t+st-2002/s=2007.
则-2002(s+t)+s^2 t^2=2007st.
将t用s表示出来,再代入原方程中,若使方程式等于零,则证明假定的rs+st+rt=2007且RST=-2002成立是正确的.
其实这个用韦达定理一步就出来了,具体:因为r.s.t是他的三个根,所以P(x)=(x-r)(x-s)(x-t)=x*x*x-(r+s+t)x*x+(rs+rt+st)x-rst 所以答案就出来了