作业帮如图,已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线,AE交BD、BC于点E、F,AC、BD相交于点O.求证：OF=1/2CE不用中位线和相似三角形解答。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 15:41:56
如图,已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线,AE交BD、BC于点E、F,AC、BD相交于点O.求证：OF=1/2CE不用中位线和相似三角形解答。
如图,已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线,AE交BD、BC于点E、F,AC、BD相交于点O.求证：OF=1/2CE
不用中位线和相似三角形解答。
如图,已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线,AE交BD、BC于点E、F,AC、BD相交于点O.求证：OF=1/2CE不用中位线和相似三角形解答。
取AE中点P,连接OP,
∵点O是AC中点,
∴OP是△ACE的中位线,
∴OP=1/2CE,OP∥AD,
∴∠OPF=∠EAD=∠EAC+∠CAD=∠EAC+45°,
又∵∠OFP=∠ABD+∠BAE=∠BAE+45°,∠EAC=∠BAE,
∴∠OPF=∠OFP．
∴OP=OF．
∴OF=1/2CE．
那你想用什么方法?
为什么不用呢?
答案示例：
过C作CG//BD交AF延长线于G，∠BFE=∠FAB+∠ABF=22.5+45=67.5；
同理∠BEF=∠CAE+∠ACE=67.5，∴∠BFE=∠BEF，CG//BD =>∠BFE=∠G，又∵∠BEF=∠CEG
∴∠G=∠CEG =>CG=CE，OF//CG,OA=OC=>AF=FG =>OF为ΔACG的中位线 =>OF=1/2CG
∴OF=1/2CE
过E作EH⊥AC交AC于H，
∵BD⊥AC，∴EH‖BD。
∵∠BAE=∠HAE，
EB⊥AB，EH⊥AH，
∴EB=EH（角平分线上一点，到两边距离相等），
∴△ABE≌△AHE.(A,A,S).
∴AB=AH.
∵AB=√2AO,
∴AH=2AO.
∵△AOF∽△AHE，
∴AH：AO=EH：OF，
∴EH...
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过E作EH⊥AC交AC于H，
∵BD⊥AC，∴EH‖BD。
∵∠BAE=∠HAE，
EB⊥AB，EH⊥AH，
∴EB=EH（角平分线上一点，到两边距离相等），
∴△ABE≌△AHE.(A,A,S).
∴AB=AH.
∵AB=√2AO,
∴AH=2AO.
∵△AOF∽△AHE，
∴AH：AO=EH：OF，
∴EH=√2OF。
三角形ECH中，CE=√2EH,
∴CE=2OF.
∴OF=1/2CE
收起
过0向上做辅助线与AB垂直，交AE于H，因为O为AC中点，所以OH=1/2 CE ，
角AFO=角BFE=角FAB+角ABF
角OHF=角OAH+角AOH
因为角AOH=45度 角FBA=45度
角OAH=角FAB （平分线）
所以角OHF=角OFH
所以 OH=OF
所以 OF=1/2 CE