问一道大一线性代数题证明平面上三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0衷心感谢每位回答者!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 17:52:48
![问一道大一线性代数题证明平面上三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0衷心感谢每位回答者!](/uploads/image/z/8840226-66-6.jpg?t=%E9%97%AE%E4%B8%80%E9%81%93%E5%A4%A7%E4%B8%80%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%A2%98%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%B8%8A%E4%B8%89%E6%9D%A1%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFax%2Bby%2Bc%3D0%2Cbx%2Bcy%2Ba%3D0%2Ccx%2Bay%2Bb%3D0+%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E4%B8%80%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%85%85%E5%88%86%E5%BF%85%E8%A6%81%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%98%AFa%2Bb%2Bc%3D0%E8%A1%B7%E5%BF%83%E6%84%9F%E8%B0%A2%E6%AF%8F%E4%BD%8D%E5%9B%9E%E7%AD%94%E8%80%85%21)
问一道大一线性代数题证明平面上三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0衷心感谢每位回答者!
问一道大一线性代数题
证明平面上三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0
衷心感谢每位回答者!
问一道大一线性代数题证明平面上三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0衷心感谢每位回答者!
过直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,交点的直线束为:ax+by+c+λ(bx+cy+a)=0
(a+λb)x+(b+λc)y+(c+λa)=0
必要性:
当cx+ay+b=0 相交于该点时:存在λ*使得 a+λ*b=c;b+λ*c=a;c+λ*a=b
三式相加得:λ*(a+b+c)=0
由于三条直线不同,所以λ*≠0,故:a+b+c=0
充分性:若 a+b+c=0 则可得:c=-(a+b)
将其代人a+λ*b=c得:λ*=-2a/b-1
再将λ*=-2a/b-1代人b+λ*c得:b+λ*c=a
代人c+λ*a得:c+λ*a=b
∴cx+ay+b=0 相交于该点.
即:三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点
额。。。我用高中的知识作出来了。。。额。。。
三个直线连列,得到一个非齐次方程组,交于一点充分必要条件应该是这个方程组有唯一解,这等价于方程组系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩都等于2,这样试试看吧。
过直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,交点的直线束为:ax+by+c+λ(bx+cy+a)=0
(a+λb)x+(b+λc)y+(c+λa)=0
必要性:
当cx+ay+b=0 相交于该点时:存在λ*使得 a+λ*b=c;b+λ*c=a;c+λ*a=b
三式相加得:λ*(a+b+c)=0
由于三条直线不同,所以λ*≠0, 故:a+b+c=0
全部展开
过直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,交点的直线束为:ax+by+c+λ(bx+cy+a)=0
(a+λb)x+(b+λc)y+(c+λa)=0
必要性:
当cx+ay+b=0 相交于该点时:存在λ*使得 a+λ*b=c;b+λ*c=a;c+λ*a=b
三式相加得:λ*(a+b+c)=0
由于三条直线不同,所以λ*≠0, 故:a+b+c=0
充分性:若 a+b+c=0 则可得:c=-(a+b)
将其代人a+λ*b=c得:λ*=-2a/b-1
再将λ*=-2a/b-1代人b+λ*c得:b+λ*c=a
代人c+λ*a得:c+λ*a=b
∴cx+ay+b=0 相交于该点。
即:三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0 相交于一点赞同1| 评论
收起