作业帮数学代数证明若a*a(b-c)+b*b(c-a)+c*c(a-b)=0则a.b.c三个数中必有两个相等
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 00:52:40
数学代数证明若a*a(b-c)+b*b(c-a)+c*c(a-b)=0则a.b.c三个数中必有两个相等
数学代数证明
若a*a(b-c)+b*b(c-a)+c*c(a-b)=0
则a.b.c三个数中必有两个相等
数学代数证明若a*a(b-c)+b*b(c-a)+c*c(a-b)=0则a.b.c三个数中必有两个相等
(a^2)*(b-c)+(b^2)(c-a)+(c^2)(a-b)
=a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b
=ab(a-b)+bc(b-c)+ac(c-a)
=b(a^2-ab+cb-c^2)+ac(c-a)
=b[(a+c)(a-c)-b(a-c)]+ac(c-a)
=b(a-c)(a+b-c)-ac(a-c)
=(a-c)(ab+b^2-bc-ac)
=(a-c)(a-b)(b-c)=0
所以a-c=0或a-b=0或b-c=0
即：a,b,c三个数中至少有两个数相等!
a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
=(a^2b-b^2a)-(a^2c-b^2c)+c^2(a-b)
=ab(a-b)-c(a-b)(a+b)+c^2(a-b)
=(a-b)(ab-c(a+b)+c^2)
=(a-b)(ab-ac-bc+c^2)
=(a-b)(a(b-c)-c(b-c))
=(a-b)(b-c)(a-c)
=0
所以,a,b,c三个数至少有两数相等
(a^2)*(b-c)+(b^2)(c-a)+(c^2)(a-b)
=a^2b-a^2c+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2
=a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+ac^2-a^2c
=b(a^2-ab+cb-c^2)+ac(c-a)
=b[(a+c)(a-c)-b(a-c)]+ac(c-a)
=b(a-c)(a+b-c)-ac(a-c) ...
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(a^2)*(b-c)+(b^2)(c-a)+(c^2)(a-b)
=a^2b-a^2c+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2
=a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+ac^2-a^2c
=b(a^2-ab+cb-c^2)+ac(c-a)
=b[(a+c)(a-c)-b(a-c)]+ac(c-a)
=b(a-c)(a+b-c)-ac(a-c)
=(a-c)(ab+b^2-bc-ac)
=(a-c)(a-b)(b-c)=0
所以：
a-c=0或a-b=0或b-c=0
所以：
a，b，c三个数中至少有两个数相等。
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