已知直线AB‖CD,点M在直线AB上,点N在直线CD上,如图,EM平分∠BMN,EN平分∠MNC,过点E作一条直线PQ交直线AB于点P,交直线CD于点Q,请你补充上直线PQ,观察,猜想,线段MP、MN、NQ是否存在等量关系?如果存在
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 11:10:26
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已知直线AB‖CD,点M在直线AB上,点N在直线CD上,如图,EM平分∠BMN,EN平分∠MNC,过点E作一条直线PQ交直线AB于点P,交直线CD于点Q,请你补充上直线PQ,观察,猜想,线段MP、MN、NQ是否存在等量关系?如果存在
已知直线AB‖CD,点M在直线AB上,点N在直线CD上,如图,EM平分∠BMN,EN平分∠MNC,过点E作一条直线PQ交直线AB于点P,交直线CD于点Q,请你补充上直线PQ,观察,猜想,线段MP、MN、NQ是否存在等量关系?如果存在,写出等量关系,如果不存在,请你说明理由(分直线PQ与线段MN相交与不与线段MN相交两种情况讨论)
已知直线AB‖CD,点M在直线AB上,点N在直线CD上,如图,EM平分∠BMN,EN平分∠MNC,过点E作一条直线PQ交直线AB于点P,交直线CD于点Q,请你补充上直线PQ,观察,猜想,线段MP、MN、NQ是否存在等量关系?如果存在
首先,讨论不与MN相交下的情况
作直线PQ,过E作ET垂直于BA
过E作EH垂直于CN,过E作EK垂直于MN,由于
EM平分∠BMN,EN平分角MNC,所以TE=KE=HE
当PQ与AB的夹角APQ为锐角时,因为EM平分∠BMN,所以TM=MK(全等可得)
同理EN平分角MNC,所以KN=HN=HQ加QN
而因为TE=KE=HE,所以易知HQ=PT(全等可得),所以MN=MK+KN=TM+HN=TM+HQ+QN=
TM+PT+QN=PM+QN
所以MN=PM+QN
同理,当PQ与AB夹角APQ为钝角时,也可得MN=PM+QN
下面讨论相交时,
过点E作PQ,PQ与MN交与U点
然后过E作EJ垂直于BA
过E作EL垂直于CN,过E作EO垂直于MN
容易知道JE=EO=EL
延长EM交CD于Z,因为JE=EO=EL,所以容易知道ZL=JM(全等可知)
同理MEP与ZEQ也是全等的,则QZ=MP,所以NQ=NL+LZ+ZQ=NL+JM+MP
因为EM平分∠BMN,EN平分∠MNC,所以由全等知LN=NO,JM=MO
MN=MO+ON=JM+LN
又NQ=NL+LZ+ZQ=NL+JM+MP
所以MN+MP=NQ