作业帮已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1 (n>或=2),a1=5,bn=(an-1)/(2^n).(1)证明{}为等差数列.(1)证明:{bn}为等差数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 12:18:31
已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1 (n>或=2),a1=5,bn=(an-1)/(2^n).(1)证明{}为等差数列.(1)证明:{bn}为等差数列
已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1 (n>或=2),a1=5,bn=(an-1)/(2^n).(1)证明{}为等差数列.
(1)证明:{bn}为等差数列
已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1 (n>或=2),a1=5,bn=(an-1)/(2^n).(1)证明{}为等差数列.(1)证明:{bn}为等差数列
an=2a(n-1)+2^(n-1)
两边同除以2^(n+1)
an/2^(n+1)=a(n-1)/2^n+1/4 (1)
因bn=a(n-1)/2^n
则b(n+1)=an/2^(n+1)
由(1)知 b(n+1)-bn=1/4
所以{bn}是公差为1/4的等差数列
(1)an*a(n-1)+1=2a(n-1)
an=[2a(n-1)-1]/a(n-1)
an -1= [2a(n-1)-1]/a(n-1) -1= [a(n-1)-1]/a(n-1)
1/(an -1) = a(n-1)/[a(n-1)-1] = {[a(n-1)-1]+1} /[a(n-1)-1]
=1+ 1/[a(n-1) -1]
1/(an -1) ...
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(1)an*a(n-1)+1=2a(n-1)
an=[2a(n-1)-1]/a(n-1)
an -1= [2a(n-1)-1]/a(n-1) -1= [a(n-1)-1]/a(n-1)
1/(an -1) = a(n-1)/[a(n-1)-1] = {[a(n-1)-1]+1} /[a(n-1)-1]
=1+ 1/[a(n-1) -1]
1/(an -1) -1/[a(n-1) -1] =1
即 bn － b(n-1)= 1
所以bn 是等差数列。
(2) bn =b1 +1*(n-1)= 1/(a1 -1) +n-1=1/(-2/5) +n-1= n-7/2, n>=2
an =1/bn +1 =1/(n-7/2) +1= 1+ 2/(2n-7)
当2n-7>0, 且2n-7为最小时，an有最大值，
2n-7>0, n>7/2, n＝4时，2n-7>0且最小，此时a4最大，a4＝1+2/(2*4-7)=3
当2n-7<0, 且2n-7为最大时，an有最小值。
n<7/2, 取n＝3时，2n-7<0且最大（最接近0），此时a3＝1+2/(6-7)=-1
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题目有问题。bn=(an-1)/(2^n). 有错。
b[n+1]-b[n]=(a[n+1]-1)/2^(n+1)-(a[n]-1)/2^n; 一式
a[n+1]=2*a[n]+2^n-1; 二式
二式代入一式可得：
b[n+1]-b[n]=1;
问题得证！
好遥远
2) bn =b1 +1*(n-1)= 1/(a1 -1) +n-1=1/(-2/5) +n-1= n-7/2, n>=2
an =1/bn +1 =1/(n-7/2) +1= 1+ 2/(2n-7)
当2n-7>0, 且2n-7为最小时，an有最大值，
2n-7>0, n>7/2, n＝4时，2n-7>0且最小，此时a4最大，a4＝1+2/(2*4-7)=3
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2) bn =b1 +1*(n-1)= 1/(a1 -1) +n-1=1/(-2/5) +n-1= n-7/2, n>=2
an =1/bn +1 =1/(n-7/2) +1= 1+ 2/(2n-7)
当2n-7>0, 且2n-7为最小时，an有最大值，
2n-7>0, n>7/2, n＝4时，2n-7>0且最小，此时a4最大，a4＝1+2/(2*4-7)=3
当2n-7<0, 且2n-7为最大时，an有最小值。
n<7/2, 取n＝3时，2n-7<0且最大（最接近0），此时a3＝1+2/(6-7)=-1
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