已知函数f(x)=x2+ax+b集合A={x丨f(x)=x},集合B={x丨f[f(x)]=x,xΕR},当A={ -1,3}时求集合B
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 15:48:36
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已知函数f(x)=x2+ax+b集合A={x丨f(x)=x},集合B={x丨f[f(x)]=x,xΕR},当A={ -1,3}时求集合B
已知函数f(x)=x2+ax+b集合A={x丨f(x)=x},集合B={x丨f[f(x)]=x,xΕR},当A={ -1,3}时求集合B
已知函数f(x)=x2+ax+b集合A={x丨f(x)=x},集合B={x丨f[f(x)]=x,xΕR},当A={ -1,3}时求集合B
f(x)=x,即x²+ax+b=x
x²+(a-1)x+b=0
∵A={ -1,3} 说明上面方程的两根是-1和3
由韦达定理知-1+3=1-a -1×3=b
所以a=-1 b=-3 此时f(x)=x²-x-3
则f[f(x)]=f²(x)-f(x)-3=(x²-x-3)²-(x²-x-3)-3
f[f(x)]=x可化为 (x²-x-3)²-(x²-x-3)-3=x
整理得 (x²-x-3)²-x²=0
(x²-x-3+x)(x²-x-3-x)=0
(x²-3)(x²-2x-3)=0
解得x=√3,-√3,-1,3.
∴集合B={√3,-√3,-1,3}.
由f(x)=x2+ax+b A={x丨f(x)=x}, A={ -1,3}
有 x^2+ax+b=x 的解为-1和3
解方程 1-a+b=-1
9+3a+b=3
的 a=-1 b=-3
故f(x)=x^2-x-3
f(f(x))=x 为 (x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x
化简为 ...
全部展开
由f(x)=x2+ax+b A={x丨f(x)=x}, A={ -1,3}
有 x^2+ax+b=x 的解为-1和3
解方程 1-a+b=-1
9+3a+b=3
的 a=-1 b=-3
故f(x)=x^2-x-3
f(f(x))=x 为 (x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x
化简为 (x^2-x-3)^2 = x^2
所以 x^2-x-3=x 或 x^2-x-3=-x
求得:x=-1或 x=3或 x=√3 或 x=-√3
所以集合B为={ -1,3,√3,-√3}
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