作业帮数列题 a1=a2=1,a(n+2)=6a(n+1)-8a(n)+2 求an括号里的是下标~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 13:43:00
数列题 a1=a2=1,a(n+2)=6a(n+1)-8a(n)+2 求an括号里的是下标~
数列题 a1=a2=1,a(n+2)=6a(n+1)-8a(n)+2 求an
括号里的是下标~
数列题 a1=a2=1,a(n+2)=6a(n+1)-8a(n)+2 求an括号里的是下标~
使用换元法换成等比数列求
a(n+2)-2/3=6(a(n+1)-2/3)-8(a(n)-2/3)
设bn(n)=an-2/3原通项公式化为b(n+2)=6b(n+1)-8bn
再换元：
b(n+2)-2b(n+1)=4b(n+1)-8b(n)=4*(b(n+1)-2*b(n))
设c(n)=b(n)-2b(n-1)（n>1）
那么原式化为c(n+2)=4c（n+1）为等比数列
计算c2=b2-2b1=(a2-2/3)-2(a1-2/3)=-1/3
所以c(n)=-1/3*4∧(n-2)
c(n)=b(n)-2b(n-1)=-1/3*4∧(n-2)（n>1）
再使用换元法：
b(n)+1/6*4∧(n-1)=2(b(n-1)+1/6*4∧(((n-1)-1))
b(n)+1/6*4∧(n-1)成等比数列,公比为2,通项公式为2∧(n-2)
所以b(n)=2∧(n-2)-1/6*4∧(n-1)(n>=2)
所以an的通项公式为
a(n)=2∧(n-2)-1/6*4∧(n-1)+2/3(n>=2)
a1=1
这题做的麻烦了我再想想有没有简单地方法.
∧的地方表示是几次幂
首先，由于原数列是线性非齐次的递推式，所以要用到增量换元法将其变为齐次递推式。即令a(n)=b(n)+△，使得b(n+2)+△=6(b(n+1)+△)-8(b(n)+△)+2成立，则可求出△=2/3，则b(n+2)=6b(n+1)-8b(n)。
特征方程法：由递推式得特征方程x^2=6x-8，求得特征根x1=2，x2=4
所以b(n)=A*2^(n-1)+B*4^(n-1)，A、B...
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首先，由于原数列是线性非齐次的递推式，所以要用到增量换元法将其变为齐次递推式。即令a(n)=b(n)+△，使得b(n+2)+△=6(b(n+1)+△)-8(b(n)+△)+2成立，则可求出△=2/3，则b(n+2)=6b(n+1)-8b(n)。
特征方程法：由递推式得特征方程x^2=6x-8，求得特征根x1=2，x2=4
所以b(n)=A*2^(n-1)+B*4^(n-1)，A、B为待定常系数，
把n=1和n=2分别代入那个式子就得A=1/2，B=-1/6，所以bn的通项公式
b(n)=2^(n-2)-2^(2n-3)/3，所以a(n)=b(n)+2/3=2^(n-2)-2^(2n-3)/3+2/3
当然，不停地换元和构造等比数列的方法也是可以的，不过你比出来就知道2,4就是其中的两个公比，所以不如直接用特征方程法来的简单。
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