作业帮线性空间的基的问题已知(a1,……an)是n维空间的一组基,A为n阶满秩方阵 (b1,……bn)=(a1,……an)A是否也是一组基?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 11:51:25
线性空间的基的问题已知(a1,……an)是n维空间的一组基,A为n阶满秩方阵 (b1,……bn)=(a1,……an)A是否也是一组基?
线性空间的基的问题
已知(a1,……an)是n维空间的一组基,A为n阶满秩方阵 (b1,……bn)=(a1,……an)A是否也是一组基?
线性空间的基的问题已知(a1,……an)是n维空间的一组基,A为n阶满秩方阵 (b1,……bn)=(a1,……an)A是否也是一组基?
是的.证明如下：
因为矩阵A为n阶满秩矩阵
所以矩阵A可逆,逆矩阵为A^(-1)
因为(b1,...,bn)=(a1,...,an)*A
所以(b1,...,bn)*A^(-1)=(a1,...,an)*A*A^(-1)
所以(b1,...,bn)*A^(-1)=(a1,...,an)
设A^(-1)=(A1 A2 ... An),其中Ai为n维列向量,i=1,2,...,n
则(b1,...,bn)*(A1 A2 ... An)=(a1,...,an)
所以根据矩阵乘法的定义得,
(b1,...,bn)*A1=a1
(b1,...,bn)*A2=a2
……………………
(b1,...,bn)*An=an
因为A可逆,即A^(-1)可逆,所以Ai≠0向量
所以向量ai均可被向量组b1,...,bn线性表示
所以向量组a1,...,an可被向量组b1,...,bn线性表示
又因为向量组a1,...,an是n维线性空间的一组基
所以向量组b1,...,bn也是n维线性空间的一组基
还要看(a1,……an)中的列向量的维数
因为 (b1,……bn)=(a1,……an)A
所以 b1,...,bn 可由 a1,...,an 线性表示
因为A可逆, 所以 (b1,……bn)A^-1=(a1,……an)
所以 a1,..,an 可由 b1,...bn 线性表示
所以两个向量组等价, 故秩相同
所以 r(b1,……bn)=r(a1,……an)=n
所以 b1,...,bn 线性无关, 故是基.
显然的，因为r (b1,……bn)=r[(a1,……an)A]=r(a1,……an)=n故(b1,……bn)是一组基