写出5个自然数,使得其中任意两个数的较大的一个数可以被这两个数的差整除

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 12:09:19

写出5个自然数,使得其中任意两个数的较大的一个数可以被这两个数的差整除
写出5个自然数,使得其中任意两个数的较大的一个数可以被这两个数的差整除

写出5个自然数,使得其中任意两个数的较大的一个数可以被这两个数的差整除
这是一个开放型问题,它的解法和答案都不是唯一的.
（一）、这里,我们试用如下思路解决它.
（1）.先找出符合条件的两个最简单自然数：1和2.
（2）.设 a ,a+1,a +2也符合条件.则2必被1,2整除,不妨设a =2.则这样的三个数为2,3,4.
（3）.设b ,b +2,b+3,b+4是符合条件的四个数.则 b必为2,3,4的倍数,而 2,3,4的最小公倍数为12,不妨设b =12,则这样的四个数为12,14,15,16.
（4）.设c ,c+12,c +14,c +15,c+16为符合条件的五个数.则c 必为12,14,15,16的倍数.而12,14,15,16的最小公倍数为 1680.即c 的最小值为1680,不妨设 c=1680,则这样的五个数为1680,1692,1694,1695,1696.
（二）、但这样找到的五个数都较大,我们试引进负整数,然后用与上面类似的思路解决这个问题.
（1）.由（一）中（2）易知：符合条件的三个负整数为-4,-3,-2.
（2）.设a ,a -4,a-3,a-2是符合条件的四个自然数.则 a必为2,3,4的倍数,而 2,3,4的最小公倍数为12,不妨设 a=12,则这样的四个数为8,9,10,12.
（3）.易知符合条件的四个负整数为-12,-10,-9,-8.
（4）.设 b,b-12,b-10,b-9,b-8为符合条件的五个数.则 b必为12,14,15,16的倍数,而 12,14,15,16的最小公倍数为1680.不妨设 b=1680,则这样的五个数为：348,350,351,352,360.
可以看出引进负整数后,我们得到的答案要比引进负整数之前简单得多.这可以说是负数的一个典型应用.
（三）、实际上上面求出的五个数不只满足原题条件,而且满足：任意两个整数中的较小的一个数也可被这两个数的差整除.下面我们用（二）中的解题思路给出符合条件的六个自然数：5724316440,7524316444,7524316445,7524316446,7524316448,7524316800.
这六个数都特别大,但是如果我们没有正确的解题思路—从简单情况和引进负整数考虑—要得到这样简单的符合条件的六个自然数简直是不可思议的.
掌握正确思路,大胆进行灵活变通是解决开放型问题的重要渠道.这就是我们通过探讨这个开放型问题所得到的经验.