作业帮高一三角函数应用题某村准备修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠的接触面.若水渠的横断面设计定制为a dm^3,渠深为8 dm,则水渠的倾角为多少是,方能使修建成本
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 07:46:05
高一三角函数应用题某村准备修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠的接触面.若水渠的横断面设计定制为a dm^3,渠深为8 dm,则水渠的倾角为多少是,方能使修建成本
高一三角函数应用题
某村准备修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠的接触面.若水渠的横断面设计定制为a dm^3,渠深为8 dm,则水渠的倾角为多少是,方能使修建成本最低?
高一三角函数应用题某村准备修建一横断面为等腰梯形的水渠,为降低成本,必须尽量减少水与水渠的接触面.若水渠的横断面设计定制为a dm^3,渠深为8 dm,则水渠的倾角为多少是,方能使修建成本
如图,由几何关系一些边长度已经标出
设倾角为θ,AB长度为x
面积S=a=2*（1/2*8*8/tanθ）+8x
可得x=a/8-8/tanθ
水与水渠的接触面
y=2*8/sinθ+x
=16/sinθ+a/8-8/tanθ
=6/sinθ-8/tanθ+a/8
其中16/sinθ-8/tanθ=8（2/sinθ-1/tanθ）
而2/sinθ-1/tanθ
=2/sinθ-cosθ/sinθ
=(2-cosθ)/sinθ
=(2-cosθ)/√(1-cos²θ)
=√[(2-cosθ)²/(1-cos²θ)]
=√[(cos²θ-4cosθ+4)/(1-cos²θ)]
=√[(cos²θ-1-4cosθ+5)/(1-cos²θ)]
=√[(4cosθ-5)/(cos²θ-1)-1]
其中(4cosθ-5)/(cos²θ-1)的倒数
(cos²θ-1)/(4cosθ-5)
=[(1/16)(4cosθ-5)²+(5/8)(4cosθ-5)+9/16]/(4cosθ-5)
=(1/16)(4cosθ-5)+(9/16)/(4cosθ-5)+5/8
=-[(1/16)(5-4cosθ)+(9/16)/(5-4cosθ)]+5/8
此式中(5-4cosθ)恒大于0,可用基本不等式
(1/16)(5-4cosθ)+(9/16)/(5-4cosθ)≥3/8
仅当(5-4cosθ)²=9即cosθ=1/2时
(1/16)(5-4cosθ)+(9/16)/(5-4cosθ)有最小值
即cosθ=1/2时
-[(1/16)(5-4cosθ)+(9/16)/(5-4cosθ)]+5/8有最大值
即cosθ=1/2时(cos²θ-1)/(4cosθ-5)有最大值
即cosθ=1/2时(4cosθ-5)/(cos²θ-1)有最小值
即cosθ=1/2时2/sinθ-1/tanθ=√[(4cosθ-5)/(cos²θ-1)-1]有最小值
水与水渠的接触面y=16/sinθ-8/tanθ+a/8有最小值
∴cosθ=1/2,θ=60°
