作业帮怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?我看的是《古今数学思想》，感觉这书很不错，最近正看到高斯的曲面几何部分，但还理不清高斯的内蕴几
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 01:40:45
怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?我看的是《古今数学思想》，感觉这书很不错，最近正看到高斯的曲面几何部分，但还理不清高斯的内蕴几
怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?
我看的是《古今数学思想》，感觉这书很不错，最近正看到高斯的曲面几何部分，但还理不清高斯的内蕴几何思想与黎曼的思想
怎样在张量的基础上理解高斯与黎曼的微分几何,比如说高斯的绝妙定理怎样得来?我看的是《古今数学思想》，感觉这书很不错，最近正看到高斯的曲面几何部分，但还理不清高斯的内蕴几
问题前半部分太笼统,也不好回答,我来回答你的后半部分吧.一楼的回答不是很好,几何原本就是和坐标无关的,如果一个量和坐标选取有关,那压根就不是几何量.坐标是我们研究问题的工具,几何是我们要研究的问题,不能因为工具的不同而出现不同的研究结果.举例来说,两条直线相交有且仅有一个交点,这是个几何性质,但是你不论在什么坐标系下,这个都是对的.言归正传,内蕴几何其实是只与曲面的第一基本形式有关的几何,曲面有第一第二基本形式,并且这两个基本形式可以唯一确定曲面（当然,它们之间要满足三个方程）,内蕴几何则是要研究只有第一基本形式所决定的曲面几何性质.高斯的绝妙定理形象地说来就是“生活在球面上的蚂蚁如果足够理解内蕴几何,它也能知道自己生活的空间是什么样子的,而不需要借助我们外人的提示”,这里它们足够聪明就是指理解内蕴几何,借助我们外人的提示则是指通过第二基本形式.曲面上有一个重要的几何量叫高斯曲率,它的定义是用第一和第二类基本量来定义的,但是高斯通过繁琐的计算,得到这个量其实只和曲面的第一基本量有关,这就是高斯绝妙定理.现在有了张量的计算,这个定理的证明很简单了,最后高斯曲率正好等于R—{1212}除以第一基本量组成的行列式开根号,而这些量都是只和第一基本量有关,这就很简单证明的了高斯绝妙定理.这些你看随便一本微分几何书的“曲面的结构方程”都能找到.这就说明高斯曲率是内蕴量,就这一点,后来被黎曼发展成为“黎曼几何”,也就是研究黎曼流形只与第一基本形式有关的几何.形象地说,内蕴几何是生活在空间的人看自己,而第二基本形式有关的量则是外面的人看这个空间.
至于为什么叫“绝妙定理”,我有个不是很好的解释,当然有时候我也给学生讲讲.原本由第一第二基本量定义的东西后来发现和第二无关,这本身在数学上就是大家关心的问题,这样流形就可以脱离欧式空间的子流形而独立存在.我的解释是这样的：有个孩子后来发现没有爸爸也能生出来,难道大家不会给予足够的关注吗?