求证：形内只有原点这一个格点的格点多边形,和它的相对的格点多边形,面积和为6.（具体说明见问题补充）由于原题是英文的,我的翻译可能有点别扭,所以再多说明一下.格点：坐标系内系数

求证：形内只有原点这一个格点的格点多边形,和它的相对的格点多边形,面积和为6.（具体说明见问题补充）由于原题是英文的,我的翻译可能有点别扭,所以再多说明一下.格点：坐标系内系数
求证：形内只有原点这一个格点的格点多边形,和它的相对的格点多边形,面积和为6.（具体说明见问题补充）
由于原题是英文的,我的翻译可能有点别扭,所以再多说明一下.
格点：坐标系内系数为整数的点.
格点多边形的定义：坐标系内所有顶点系数为整数的多边形.
格点多边形的“相对格点多边形”：将原格点多边形形上（包括边上和角上）的所有格点按逆时针方向记下,记为A1,A2,A3,A4,A5...An,记其坐标向量为p1,p2,p3,p4,p5...pn.
令qi=(pi+1)-(pi),例q1=p2-p1,q2=p3-p2.令qn=p1-pn.在坐标系内依次连结q1至qn,可得一新多边形,即为原格点多边形的“相对格点多边形”.
现求证：若以格点多边形形内只有一个格点（原点）,（形上可有其他格点）,则该多边形与其“相对格点多边形”面积和为6.
附注：我现在已可证出相对格点多边形形内也有原点.解此问题可能要用到皮克公式,即A=I+B/2-1.
A：多边形面积
I：多边形形内格点数
B：多边形形上格点数
原多边形为凸多边形

求证：形内只有原点这一个格点的格点多边形,和它的相对的格点多边形,面积和为6.（具体说明见问题补充）由于原题是英文的,我的翻译可能有点别扭,所以再多说明一下.格点：坐标系内系数
这个多边形是凸的吧,否则没人证的出来的
等等,是也整不出来.
记为A1,A2,A3,A4,A5...An,记其坐标向量为p1,p2,p3,p4,p5...pn.
这一句话问题太大了.
Ai的坐标向量为OAi（箭头实在加不上了,见谅）
qi=(pi+1)-(pi)=OA(i+1)-OAi=OA(i+1)+AiO=AiA(i+1)
好了,我可以用正方形欺负你了：）
A1（1,1）A2（-1,1）A3（-1,-1）A4（1,-1）
q1（-2,0）q2（0,-2）q3（2,0）q4（0,2）
正方形面积为4,q1q2q3q4怎么看怎么比正方形大.

貌似这个题目有点问题，例如A1（1，1），A2（-1，0），A3（1，-1），满足题目条件，面积为2；
q1（-2，-1），q2（2，-1），q3（0，2），面积为6；两个面积和是8。
是我举出的例子有问题还是什么？
楼主确认一下吧。你举出的三角形上有4个格点，A1（1，1），A2（-1，0），A3（1，-1），以及A4（1,0） 所以有：q1(-2,-1), q2(2,...

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貌似这个题目有点问题，例如A1（1，1），A2（-1，0），A3（1，-1），满足题目条件，面积为2；
q1（-2，-1），q2（2，-1），q3（0，2），面积为6；两个面积和是8。
是我举出的例子有问题还是什么？
楼主确认一下吧。

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记下，元旦过了有空来做

整不出来。。。。。。
记为A1,A2,A3,A4,A5...An,记其坐标向量为p1,p2,p3,p4,p5...pn.
这一句话问题太大了。。。
Ai的坐标向量为OAi（箭头实在加不上了，见谅）
qi=(pi+1)-(pi)=OA(i+1)-OAi=OA(i+1)+AiO=AiA(i+1)
好了，我可以用正方形欺负你了：）
A1（1，1）A2（-1...

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整不出来。。。。。。
记为A1,A2,A3,A4,A5...An,记其坐标向量为p1,p2,p3,p4,p5...pn.
这一句话问题太大了。。。
Ai的坐标向量为OAi（箭头实在加不上了，见谅）
qi=(pi+1)-(pi)=OA(i+1)-OAi=OA(i+1)+AiO=AiA(i+1)
好了，我可以用正方形欺负你了：）
A1（1，1）A2（-1，1）A3（-1，-1）A4（1，-1）
q1（-2，0）q2（0，-2）q3（2，0）q4（0，2）
正方形面积为4，q1q2q3q4怎么看怎么比正方形大。。。。。。

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设多边形A1A2…An的相对多边形为B1B2…Bn，O是原点，那么△A1A2A3的面积和△OB1B2的面积相等，因为A1A2和OB1平行且等长，A2A3和OB2平行且等长，因此∠A1A2A3和∠B1OB2要么相等要么互补，根据三角形的面积公式S=absinα/2可知，这两个三角形面积相等。因此多边形B1B2…Bn的面积为S△A1A2A3+ S△A2A3A4+…+ S△AnA1A2，即多边形B1B2...

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设多边形A1A2…An的相对多边形为B1B2…Bn，O是原点，那么△A1A2A3的面积和△OB1B2的面积相等，因为A1A2和OB1平行且等长，A2A3和OB2平行且等长，因此∠A1A2A3和∠B1OB2要么相等要么互补，根据三角形的面积公式S=absinα/2可知，这两个三角形面积相等。因此多边形B1B2…Bn的面积为S△A1A2A3+ S△A2A3A4+…+ S△AnA1A2，即多边形B1B2…Bn的面积是多边形A1A2…An三个相邻顶点构成的三角形的面积之和。
接下来讨论几个结论。
（1）若格点凸多边形有且仅有一个内部格点，它的某条边上面有n个格点，那么这n个格点是这条边的等分点。因为这n+1个分段和多边形内部格点构成的n+1个三角形内部均无其它格点，所以面积都是1/2，以各个分段为底，这n+1个三角形的高相等，所以底边长度也必然相等。
（2）格点凸五边形内部必有格点。根据格点坐标的奇偶性，有（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）四种类型，那么对于凸五边形，至少有两个顶点的坐标类型相同，那么这两个顶点连线的中点必为格点，若这两个顶点不是相邻顶点，则内部有一格点，若两个顶点是相邻顶点，那么这个中点在这两个顶点的连线上，顺次类推，可以得出五边形内必有一格点。例如凸五边形ABCDE，若A点和B点的坐标类型相同，它的中点是格点，不妨设这个中点是F，那么BCDEF也是一个凸五边形，顺次构造，直至构造出边上没有格点的凸五边形，由于边上没有了格点，那么一定有一个格点在内部。这相结论反过来得出另外一个结论：若凸五边形边上没有其它格点，则其内部格点一定在某条对角线上。
（3）格点凸七边形内部必然包含至少两个格点。首先，因为多于五条边，那么它的内部肯定有一个格点。若这个内部格点在某条对角线上，那它必将有另一个格点，因这条对角线将七边形分为两个部分，有一部分是一个等于或多于五条边的多边形，而这个多边形内部必有一个格点；若内部这个格点不在任何对角线上，那么在凸七边形内部还可以构造出一个凸五边形，如凸七边形ABCDEFG内部有一格点O，O点不在任何对角线上，那么六边形ABCDEO和五边形AGFEO肯定有一个是凸多边形，其内部必然还有一个格点。因此，一个凸七边形内部至少有两个格点。
（4）内部有且仅有一个格点的格点凸六边形必是中心对称图形，内部格点是中心对称点。首先可证内部格点是对角顶点连线的交点，如若不然，在其内部必可和其内部唯一格点构造出凸五边形，那么必有另一格点。如六边形ABCDEF，设内部格点是O，若它不在AD上，那么五边形ABCDO和五边形DEFAO必有一个是凸五边形，那么它内部还会有一个格点。同理O点也必在BE和CF上。可以证明AO和DO必然相等，用反证法，若AO>DO，那么D点关于O点的对称点必在AO上，而这个对称点根据数值计算方法，它一点是个格点，那么六边形内就有了两个格点。同理，O必是CF和BE的中点。
（5）若格点凸五边形内部只有一个格点且五个边上没有其它格点，则这个内部格点必是某两条对角线的交点且平分这两条对角线。设五边形ABCDE内部唯一格点O是对角线AC的中点，如果它不是BE的中点，那么它必是BD的中点。证明如下：△ABO和△EBO都是格点三角形，且其内部无其它格点，根据皮克公式，它们的面积都是1/2，以BO为底，则两个三角形同高，所以AE平行于BO，同理可证明AB平行于EO，因此四边形ABOE是平行四边形，BO平行于AE且相等；用同样的方法可以证明AODE是平行四边形，因此OD平行于AE且相等，所以O点必是BD的平分点。
下面讨论内部有且仅有一个格点多边形的可能情况，内部格点均用O表示。
（1）多边形整体是个三角形。
（a）它的任何一条边上不可能再包含4个格点。若△ABC的边BC上有另外4个格点，那么这4个格点将BC分为5等分，这5等分和A点构成5个三角形，这5个三角形同高，所以面积应该相等，而这5个三角形至少有一个三角形完全不包含O点，而至少有一个三角形其内部或边上包含O点，根据皮克公式，它们的面积不可能相等，因此结论成立。
（b）不可能有两条边上都有2个格点。假设△ABC的边AB上有两个格点I，J，AI=IJ=JB，BC上有两个格点K，L，BK=KL=LC，那么五边形IJKLO和五边形AIOLC至少有一个是凸五边形，那么其内部必有另一个格点。
（c）若某条边上另有3个格点，那么另外两条边上有且仅有1个格点。若△ABC的边BC上有3个格点I、J、K，BI=IJ=JK=KC，显然S△ABI=S△AIJ=S△AJK=S△AKC，那么内部格点O必在AJ上，否则这四个三角形面积不可能相等，而要使这四个三角形面积全部相等，则AB和AC上必须有且仅有1个格点。设AB上的格点为L，AC上的格点为M，也可以证明内部格点O是AJ和LM的交点，因为LJ和JM是△ABC 的中位线，所以四边形ALJM是平行四边形，那么△ALM和△JLM的面积相等，因此O点不可能在△ALM内部或是△JLM内部，只能在LM上，否则根据皮克公式会造成面积不等。若多边形A1A2…An是这样一个多边形，那么其相对多边形的面积构成S△A1A2A3， S△A2A3A4，…， S△AnA1A2中只有3个三角形有面积，其中2个三角形面积为1/2（对应上面的分析分别是△LBI和△KCM），1个为1（对应上面的分析是△MAL），原多边形面积为4，因而总和为6。
（d）若某条边上有2个格点，那么另外两条边，一条上有1个格点，一条上无格点。若△ABC的边BC上有2个格点I、J，BI=IJ=JC，那么内部格点O只能在AI或AJ上，如若在△AIJ内部，为使面积相等，则△ABI的AB边上必须有2个格点，这和(b)的结论矛盾。若O点在AI上，那么AC上有1格点，AB上无格点；若O点在AJ上，那么AB上有1格点，AC上无格点。设O点在AI上，AC上的格点为M，可以证明O点在△ABM内部，因为△ABM和△MBC面积相等，而根据皮克公式，只有O点在△ABM内部时它们的面积才相等。若多边形A1A2…An是这样一个多边形，那么其相对多边形的面积构成S△A1A2A3， S△A2A3A4，…， S△AnA1A2中有3个三角形有面积，其中一个三角形面积为1（对应上面的分析是△ABI），一个为1/2（对应上面的分析是△JCM），一个为3/2（对应上面的分析是△MAB），原多边形面积为3，因而总和为6。
（e）不可能两条边上各只有1个格点而另一条边上无格点。若△ABC的边AB上有格点L，BC上有格点I，连接AI，那么△ABI和若△BIC的面积应该相等，而根据皮克公式，无论内部格点O在何处，这两个三角形的面积均不可能相等。
（f）不可能三条边上都恰好只有1个格点。若△ABC的边AB上有格点L，BC上有格点I，CA上有格点M，那么O必是△ABC的重心，因为若要使△ABI与△AIC的面积相等，则O必在AI上，同理它也在BM和CL上。考查△BOI和△MOI，根据皮克公式，它们的面积都应该是1/2，但根据三角形重心的性质，BO的长度是MO的2倍，△BOI的面积应该是△MOI的两部，矛盾，故不可能。
（g）若多边形A1A2…An是只有一条边上有一个格点而其它两条边上无格点的三角形，那么其相对多边形的面积构成S△A1A2A3， S△A2A3A4，…， S△AnA1A2中有3个三角形有面积，其中2个是原三角形面积的一半，另外1个就是原三角形，因此其面积是原多边形的2倍，原多边形的面积是2，故和为6。
（h）若多边形A1A2…An是三条边上均无格点的三角形，那么其相对多边形的面积构成S△A1A2A3， S△A2A3A1， S△A3A1A2均是原三角形，因而面积是原多边形的3倍，原多边形面积为3/2，故和为6。
（2）多边形整体是个四边形。
（a）它的任何一条边上不可能再包含3个格点。若四边形ABCD的CD边上有三个格点I，J，K，为防止面积不等的矛盾，O点在不能在△ACD的内部或在AC上，同理，O点也不能在△BCD内部或BD上，而△ACD的面积只能是2，因为它是4个面积为1/2的三角形面积之和，同样△BCD的面积也是2，那么以CD为底，△ACD与△BCD等高，即AB平行于CD。考查△AIJ和△OJK，根据皮克公式，它们的面积都应该是1/2，但以JK为底，这两个三角形不可能等高，因为O点在AB线的下方。故不可能有一条边上有3个格点。
（b）若某条边上有2个格点，则这条边的对边上没有格点。这个证明不难，很容易和内部格点O构造出凸五边形。
（c）不可能有两条边上有2个格点。否则也很容易和内部格点O构造出凸五边形。
（d）不可能某条边上有2个格点且其它三条边上各有1个格点。很容易和内部格点O构造出凸五边形，证略。
（e）不可能两条对边上各只有1个格点而另一对边上无格点。四边形ABCD，设AB上有格点M，CD上有格点N，BC、AD上无格点，为防止出现的和O点构造出凸五边形，O必在MN上，考查△ACN和△AND，它们的面积应当相等，为防止不等，O点在能在△ACD内，同样它不能在△BCD内，同理可得O点不能在△ABC和△ABD内，而这是不可能的，因为O点在四边形内部。
（f）不可能三条边上只有1格点而第四条边上无格点。四边形ABCD，设AB上有格点M，BC上有格点N，CD上有格点P， 可证得AD有且只有1个格点，为防止出现的和O点构造出凸五边形，O必在MP上，若要使△DBN与△DNC面积相等，O点必在BD上，同理O点也在AC上，可知△ABC与△DBC面积相等，以BC为底，它们等高，所以AD平行于BC；△OND和△ONP面积都是1/2，因而也可得DC平行于ON，同样可得AB平行于ON，因此AB平行于CD，因此四边行ABCD是一个平行四边形，为使四边形AMPD与四边形BMPC面积相等，则AD上必然有且仅有1个格点。
（g）若某条边上有2个格点，且其两条邻边上各有1个格点，则这个四边形是梯形，有2个格点的边与其对边平行。证明参照前面三角形分析的方法。
（h）若两个相邻边上各有1个格点，其它边无格点，那么这里有一个边上没有其它格点的凸五边形，这个图形的性质参照前述，如ABCD的AB边上有格点M，AD边上有格点N，那么BCDNM是一个边上没有其它格点的凸五边形。
综上所述，四边形可能的情况有四种：①四条边上均无其它格点；②某条边上有2个格点，其相邻边各有1个格点；③某条边上有2个格点，其一条相邻边有1个格点，另两条边无格点；④四条边上均有1个格点。最终结论验证略。
（3）多边形整体是个五边形。
（a）若它的某一条边上有一个格点，那么这个格点与五边形的内部格点、这条边的对面顶点共线。五边形ADCDE有内部唯一格点O，若AE上有一格点H，那么C、O、H共线。如若不然，五边形ABCOH与五边形HOCDE必有一个是凸五边形，那么其内部必有另外一个格点。这个结论也说明了任何一条边上不可能再有2个格点。
（b）若某一条边上有格点，那么和它不相邻的两条边上无格点。否则也很容易和内部格点O构造出凸五边形。
（c）不可能有三条边上有格点。因为三条边，那么必有两条边不相邻，根据（b）中的结论，不可能。
综上，五边可能的情况有三种：①五条边上均无其它格点；②只有一条边上有1个格点，其它边上无格点；③两条相邻的边上各有1个格点，其它边无格点。最终结论验证略。
（4）多边形整体是个六边形。
（a）它的任何一条边上不可能再包含其它格点。凸六边形ABCDEF，若FA上有一格点H，连接EH，那么ABCDEH也是一个凸六边形，F、H都和C点对称，不可能。
（b）相邻的三个顶点组成的三角形不包含内部格点。因为除去这个三角形，多边形剩下的是个五边形，内部格点必在这个五边形内。
这个的最终结论验证很简单。

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