作业帮P是椭圆X2/9+Y2/4=1,COSF1PF2的最小值答案是-1÷9,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 18:57:20
P是椭圆X2/9+Y2/4=1,COSF1PF2的最小值答案是-1÷9,
P是椭圆X2/9+Y2/4=1,COSF1PF2的最小值
答案是-1÷9,
P是椭圆X2/9+Y2/4=1,COSF1PF2的最小值答案是-1÷9,
用余弦定理,在△F1PF2中,PF1+PF2=2a=6,F1F2=2c=2√5
cos∠F1PF2=(PF1²+PF2²-F1F2²)/(2·PF1·PF2)=[(PF1+PF2)²-F1F2²-2PF1·PF2]/(2·PF1·PF2)
=(16-2PF1·PF2)/(2·PF1·PF2)=8/(PF1·PF2)-1
再用不等式,因为PF1·PF2≤[(PF1+PF2)/2]²=9,所以1/(2·PF1·PF2)≥1/9,所以
cos∠F1PF2=8/(PF1·PF2)-1≥8/9-1=-1/9,所以cos∠F1PF2的最小值是-1/9,此时PF1=PF2,P在椭圆短半轴端点上.
由椭圆的方程式可得：a=3,b=2,c=根号a^2-b^2=根号5
F1F2的长度=2c=2根号5
在三角形F1PF2中：设PF1=L,则PF2=2a-PF1=6-L
用余弦定理可得：|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|cosF1PF2
→ (2根号5)^2=L^2+(6-L)^2...
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由椭圆的方程式可得：a=3,b=2,c=根号a^2-b^2=根号5
F1F2的长度=2c=2根号5
在三角形F1PF2中：设PF1=L,则PF2=2a-PF1=6-L
用余弦定理可得：|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|cosF1PF2
→ (2根号5)^2=L^2+(6-L)^2-2L(6-L)cosF1PF2
→ 2L(6-L)cosF1PF2=2L^2-12L+16
→ cosFIPF2=(2L^2-12L+16)/(12L-2L^2)
=-1+16/(12L-2L^2)
有椭圆性质可得： a-c
当L=3时，分母12L-2L^2最大，则cosF1PF2取到最小
→cosF1PF2=-1+16/18=-1/9
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