若关于x的一元二次方程KX^2+(2k+3)x+1=0两根均为整数,求满足条件的K 的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 16:53:30
![若关于x的一元二次方程KX^2+(2k+3)x+1=0两根均为整数,求满足条件的K 的值](/uploads/image/z/406517-5-7.jpg?t=%E8%8B%A5%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8BKX%5E2%2B%282k%2B3%29x%2B1%3D0%E4%B8%A4%E6%A0%B9%E5%9D%87%E4%B8%BA%E6%95%B4%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E7%9A%84K+%E7%9A%84%E5%80%BC)
若关于x的一元二次方程KX^2+(2k+3)x+1=0两根均为整数,求满足条件的K 的值
若关于x的一元二次方程KX^2+(2k+3)x+1=0两根均为整数,求满足条件的K 的值
若关于x的一元二次方程KX^2+(2k+3)x+1=0两根均为整数,求满足条件的K 的值
这是一道超奥数题.
答:使得方程kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数的所有有理数k=-1/3或1
kx^2+(k+2)x+(k-1)=0
2x-1=0
x=1/2,不符合已知条件,故k≠0
kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数
△=(k+2)^2-4k(k-1)≥0
3k^2-8k-4≤0
(4-2√7)/3≤k≤(4+2√7)/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
-3k^2+8k+4=-3(k-4/3)^2+4+16/3
-3(k-4/3)^2≤0
-3k^2+8k+4≤4+16/3≤9
可知-3k^2+8k+4=0,1,2^2,3^2
讨论:
(1)-3k^2+8k+4=0
k=(4±2√7)/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=-1/2-1/k
x不全是整数,不符合已知条件.
(2)-3k^2+8k+4=1
k=(4±5)/3=3,-1/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=[-k-2±1)]/(2k)
=-1/2-1/k±1/(2k)
k=3,x不是整数,不符合已知条件;
k=-1/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=[-k-2±1)]/(2k)
=-1/2-1/(-1/3)±1/(-2/3)
=5/2±3/2
x=1,4,符合已知条件;
(3)-3k^2+8k+4=2^2
k=0,8/3,但k≠0
k=8/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=-1/2-1/k±2/(2k)
=-1/2-1/k±1/k
x不是整数,不符合已知条件.
(4)-3k^2+8k+4=9=3^2
k=1,5/3
k=1
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=(-1-2±3)/2
=(-3±3)/2
x=0,-3是整数,符合已知条件
k=5/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=(-5/3-2±3)/(2*5/3)
=(-11±9)/10
x不是整数,不符合已知条件.
可知,符合已知条件的k值只有
k=-1/3,1