设f为[0,+∞)上连续的严格递增函数,f(0)=0证明:ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方)当且仅当b=f(a)时,等号成立(a,b≥0)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 21:02:39
![设f为[0,+∞)上连续的严格递增函数,f(0)=0证明:ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方)当且仅当b=f(a)时,等号成立(a,b≥0)](/uploads/image/z/3817232-8-2.jpg?t=%E8%AE%BEf%E4%B8%BA%5B0%2C%2B%E2%88%9E%EF%BC%89%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%9A%84%E4%B8%A5%E6%A0%BC%E9%80%92%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%2Cf%280%29%3D0%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9Aab%E2%89%A4%E2%88%AB0%E5%88%B0a+f%28x%29dx%2B%E2%88%AB0%E5%88%B0b+f-1%28y%29dy+%28-1%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E8%B4%9F%E4%B8%80%E6%AC%A1%E6%96%B9%EF%BC%89%E5%BD%93%E4%B8%94%E4%BB%85%E5%BD%93b%3Df%28a%29%E6%97%B6%2C%E7%AD%89%E5%8F%B7%E6%88%90%E7%AB%8B%EF%BC%88a%2Cb%E2%89%A50%EF%BC%89)
设f为[0,+∞)上连续的严格递增函数,f(0)=0证明:ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方)当且仅当b=f(a)时,等号成立(a,b≥0)
设f为[0,+∞)上连续的严格递增函数,f(0)=0证明:ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方)
当且仅当b=f(a)时,等号成立(a,b≥0)
设f为[0,+∞)上连续的严格递增函数,f(0)=0证明:ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方)当且仅当b=f(a)时,等号成立(a,b≥0)
证:
设一实数c,使f(c)=b,
(1)如果c≥a;
∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
= a*b + ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy
得 a*b = ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy
又因 f(x)为[0,+∞)上连续的严格递增函数,则f^-1(x)也是在[0,+∞)上连续的严格递增函数,得
因c≥a,- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy ≥ 0
所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
(2)如果 c≤a
∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
= a*b - ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy
由于f^-1(x)也是在[0,+∞)上连续的严格递增函数,则- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy ≥ 0
所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
等式成立.
另,当- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy 或- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy 为0时,等号成立.
由于f^-1(x)严格递增,所以当f(c)=f(a)时,即c=a时,有
- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy = - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy = 0
即f(a)=f(c)=b (前面已定义f(c)=b)
∫[0,a] f(x)dx+∫[0,b] f^(-1)(y)dy 令y=f(x)
= ∫[0,a] f(x)dx+∫[0,f^(-1)(b)] f^(-1)[f(x) ]df(x)
= ∫[0,a] f(x)dx+∫[0,f^(-1)(b)] x df(x) 分部积分
= ∫[0,a] f(x)dx+ x f(x) |[0,f^(...
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∫[0,a] f(x)dx+∫[0,b] f^(-1)(y)dy 令y=f(x)
= ∫[0,a] f(x)dx+∫[0,f^(-1)(b)] f^(-1)[f(x) ]df(x)
= ∫[0,a] f(x)dx+∫[0,f^(-1)(b)] x df(x) 分部积分
= ∫[0,a] f(x)dx+ x f(x) |[0,f^(-1)(b)] - ∫[0,f^(-1)(b)] f(x) dx 区间可加性
= bf^(-1)(b) + ∫[f^(-1)(b),a] f(x) dx 积分中值定理 c介于a与f^(-1)(b)之间
= bf^(-1)(b) +f(c)[a - f^(-1)(b)] = A(假设)
讨论 设f为[0,+∞)上连续的严格递增函数,f(0)=0 所以f^(-1)(x)也是单调递增
若b>f(a),f^(-1)(b) > a, f(c)bf^(-1)(b)+b[a - f^(-1)(b)] =ab
若b
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