作业帮设函数f(x)=-a根号下(x平方+1)+x+a,x属于(0,1],其中a>0.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.（2）求f（x）在（0,1]上的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 20:38:43
![设函数f(x)=-a根号下(x平方+1)+x+a,x属于(0,1],其中a>0.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.（2）求f（x）在（0,1]上的最大值](/uploads/image/z/3799910-38-0.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D-a%E6%A0%B9%E5%8F%B7%E4%B8%8B%28x%E5%B9%B3%E6%96%B9%2B1%29%2Bx%2Ba%2Cx%E5%B1%9E%E4%BA%8E%280%2C1%5D%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADa%3E0.%281%29%E8%8B%A5f%28x%29%E5%9C%A8%280%2C1%5D%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%9C%A8%EF%BC%880%2C1%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC)
设函数f(x)=-a根号下(x平方+1)+x+a,x属于(0,1],其中a>0.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.（2）求f（x）在（0,1]上的最大值
设函数f(x)=-a根号下(x平方+1)+x+a,x属于(0,1],其中a>0.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.
（2）求f（x）在（0,1]上的最大值
设函数f(x)=-a根号下(x平方+1)+x+a,x属于(0,1],其中a>0.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.（2）求f（x）在（0,1]上的最大值
见图
解1：
∵f(x)=-a√(x^2+1)+x+a，
∴f(x)’=ax/√(x^2+1)+1
若要f(x)是增函数，需要f(x)’＞0
即：ax/√(x^2+1)+1＞0
ax/√(x^2+1)＞-1
ax＞-√(x^2+1)
∵x∈(0,1]，
∴a＞-[√(x^2+1)]/x
a＞-√[(x^2+1)/x^2]
a...
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解1：
∵f(x)=-a√(x^2+1)+x+a，
∴f(x)’=ax/√(x^2+1)+1
若要f(x)是增函数，需要f(x)’＞0
即：ax/√(x^2+1)+1＞0
ax/√(x^2+1)＞-1
ax＞-√(x^2+1)
∵x∈(0,1]，
∴a＞-[√(x^2+1)]/x
a＞-√[(x^2+1)/x^2]
a＞-√(1+1/x^2)
∵x∈(0,1]，
∴a＞-√2
即：x∈(-√2,∞)
解2：
f(x)”=a[(a+1)x^2+1]/[(x^2+1)^(3/2)]
令f(x)”=0
即：a[(a+1)x^2+1]/[(x^2+1)^(3/2)]=0
(a+1)x^2+1=0
(a+1)x^2=-1
x^2=-1/(a+1)
x=√[-1/(a+1)]
f(x)的极值为：
f(x)=-a√[-1/(a+1)+1]+√[-1/(a+1)]+a
=-a√[a/(a+1)]+√[-1/(a+1)]+a
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