已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0),其中a为实数.1.若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.2.当a=1时,求证:g(x)-f(x)≤(1/6)x³ (x≥0).
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 03:22:48
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已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0),其中a为实数.1.若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.2.当a=1时,求证:g(x)-f(x)≤(1/6)x³ (x≥0).
已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0),其中a为实数.
1.若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
2.当a=1时,求证:g(x)-f(x)≤(1/6)x³ (x≥0).
已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0),其中a为实数.1.若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.2.当a=1时,求证:g(x)-f(x)≤(1/6)x³ (x≥0).
(Ⅰ) 由题意可得:令h(x)=f(x)-g(x)=sinx-ax(x≥0),
所以h'(x)=cosx-a.
若a≥1,h'(x)=cosx-a≤0,
所以h(x)=sinx-ax在区间(-∞,0]上单调递减,即h(x)≤h(0)=0,
所以sinx≤ax(x≥0)成立.
若a<1,存在x0∈(0,π/2),使得cosx0=a,
所以x∈(0,x0),h'(x)=cosx-a>0,
所以h(x)=sinx-ax在区间(0,x0)上单调递增,
所以存在x使得h(x)>h(0)=0,即此时f(x)≤g(x)不恒成立,
所以a<1不符合题意舍去.
综上,a≥1.
(Ⅱ)由题意可得:a=1,所以g(x)=x(x≥0),
所以(x)-g(x)=sinx-x(x≥0),
所以原不等式等价于sinx-x-1/6x^3≤0(x≥0),
设H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0),所以H′(x)=1-cosx-1/2x^2.
令G(x)=1-cosx-1/2x^2,所以G'(x)=sinx-x,
所以G'(x)=sinx-x≤0(x≥0),
所以G(x)=1-cosx-1/2x^2在(0,+∞)上单调递减,
因此有:G(x)=1-cosx-1/2x^2≤G(0)=0,
即H′(x)=1-cosx-1/2x^2≤0,
所以H(x)=x-sinx-1/6x^3 (x≥0)单调递减,
所以H(x)=x-sinx-1/6x^3≤H(0)=0,
所以x-sinx-1/6x^3≤0(x≥0)恒成立,即x-sinx≤1/6x^3(x≥0).
(Ⅰ) 由题意可得:令h(x)=f(x)-g(x)=sinx-ax(x≥0),
所以h'(x)=cosx-a.
若a≥1,h'(x)=cosx-a≤0,
所以h(x)=sinx-ax在区间(x>=0)上单调递减,即h(x)≤h(0)=0,
所以sinx≤ax(x≥0)成立. (3分)
若a<1,存在x0∈(0,π/2),使得cosx0=a,
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(Ⅰ) 由题意可得:令h(x)=f(x)-g(x)=sinx-ax(x≥0),
所以h'(x)=cosx-a.
若a≥1,h'(x)=cosx-a≤0,
所以h(x)=sinx-ax在区间(x>=0)上单调递减,即h(x)≤h(0)=0,
所以sinx≤ax(x≥0)成立. (3分)
若a<1,存在x0∈(0,π/2),使得cosx0=a,
所以x∈(0,x0),h'(x)=cosx-a>0,
所以h(x)=sinx-ax在区间(0,x0)上单调递增,
所以存在x使得h(x)>h(0)=0,即此时f(x)≤g(x)不恒成立,
所以a<1不符合题意舍去.
综上,a≥1. (5分)
(Ⅱ)由题意可得:a=1,所以g(x)=x(x≥0),
所以f(x)-g(x)=sinx-x(x≥0),
所以原不等式等价于sinx-x-1/6x3≤0(x≥0),
设H(x)=x-sinx-1/6x3 (x≥0),所以H′(x)=1-cosx-1/2x2.
令G(x)=1-cosx-1/2x2,所以G'(x)=sinx-x,
所以G'(x)=sinx-x≤0(x≥0),
所以G(x)=1-cosx-1/2x2在(0,+∞)上单调递减,(8分)
因此有:G(x)=1-cosx-1/2x2≤G(0)=0,
即H′(x)=1-cosx-1/2x2≤0,
所以H(x)=x-sinx-1/6x3 (x≥0)单调递减,(10分)
所以H(x)=x-sinx-1/6x3≤H(0)=0,
所以x-sinx-1/6x3≤0(x≥0)恒成立,即x-sinx≤1/6x3(x≥0).
收起
(1)
f(x))≤g(x)
sinx ≤ax
a>=1
(2)
a=1
g(x)-f(x)
=x-sinx
= x- ( x/1! - x^3/3! + x^5/5! - )
=x^3/3!-x^5/5! + x^7/7!-...
≤ x^3/3!
=x^3/6