高数:微分方程组{dx/dt=x+7y怎么解?{dy/dt=4x-2y
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 15:49:45
高数:微分方程组{dx/dt=x+7y怎么解?{dy/dt=4x-2y
高数:微分方程组{dx/dt=x+7y怎么解?{dy/dt=4x-2y
高数:微分方程组{dx/dt=x+7y怎么解?{dy/dt=4x-2y
刚刚看漏了后面那个方程,不好意思.
dx/dt=x+7y①
dy/dt=4x-2y②
②÷①得dy/dx=(4x-2y)/(x+7y)=[4-2(y/x)]/[1+7(y/x)] ③
方程③这是个齐次方程.
解法如下:
令u=y/x
则y=ux,dy/dx=u+x*du/dx
于是方程③变为:u+x*du/dx=(4-2u)/(1+7u)
分离变量得到:[(1+7u)/(-7u²-3u+4)]du=(1/x)dx
两边同时积分得:(-5/11)ln|-7u+4|-(6/11)ln|u+1|+c=ln|x| ④
然后将u=y/x代入④式即可得到答案:(-5/11)ln|7(y/x)-4|-(6/11)ln|(y/x)+1|+c=ln|x|
解微分方程组:dx/dt=x+7y;dy/dt=4x-2y.
(dy/dt)/(dx/dt)=dy/dx=(4x-2y)/(x+7y)=[4-2(y/x)]/[1+7(y/x)]........(1)
令y/x=v,即y=vx,故dy/dx=v+x(dv/dx),代入(1)式得;
v+x(dv/dx)=(4-2v)/(1+7v)
即有x(dv/dx)=(4-2v)/...
全部展开
解微分方程组:dx/dt=x+7y;dy/dt=4x-2y.
(dy/dt)/(dx/dt)=dy/dx=(4x-2y)/(x+7y)=[4-2(y/x)]/[1+7(y/x)]........(1)
令y/x=v,即y=vx,故dy/dx=v+x(dv/dx),代入(1)式得;
v+x(dv/dx)=(4-2v)/(1+7v)
即有x(dv/dx)=(4-2v)/(1+7v)-v=(4-3v-7v²)/(1+7v)
分离变量得(1+7v)dv/(4-3v-7v²)=dx/x
(1+7v)dv/(4-7v)(1+v)=dx/x
两边积分之得∫(1+7v)dv/(4-7v)(1+v)=lnx-(C/11)
上式左边=∫[1/(4-7v)-1/(1+v)]dv=∫[(35/11)/(4-7v)-(6/11)/(1+v)]dv
=-(5/11)∫d(4-7v)/(4-7v)-(6/11)∫d(1+v)/(1+v)
=-(5/11)ln︱4-7v︱-(6/11)ln︱1+v︱
故得-(5/11)ln︱4-7v︱-(6/11)ln︱1+v︱=lnx-(C/11)
将v=y/x代入即得通解为:5ln︱(4x-7y)/x︱+6ln︱(x+y)/x︱=-11(lnx)+C
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