作业帮等差数列an前n项和为Sn=m,Sm=n,求Sm+n的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 01:42:06
等差数列an前n项和为Sn=m,Sm=n,求Sm+n的值
等差数列an前n项和为Sn=m,Sm=n,求Sm+n的值
等差数列an前n项和为Sn=m,Sm=n,求Sm+n的值
设公差为d.
Sm=ma1+(m^2-m)d/2=n,则mna1+(m^2n-mn)d/2=n^2 (1)
Sn=na1+(n^2-n)d/2=m,则mna1+(mn^2-mn)d/2=m^2 (2)
(1)-(2)得：(d/2)(m^2n-mn^2)=n^2-m^2、(d/2)mn(m-n)=-(m+n)(m-n)
因为mn,所以(d/2)mn=-(m+n)、mnd=-2m-2n (*)
S(m+n)=a1+a2+…+am+a(m+1)+a(m+2)+…+a(m+n)
=Sm+[a1+md]+[a1+(m+1)d]+…+[a1+(m+n-1)d]
=n+{a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]}+mnd
=n+[a1+a2+…+an]+mnd
=n+Sn+mnd
=m+n+mnd
将(*)式代入可得：S(m+n)=-m-n
题目中应有m与n不等，否则无法解
改后结果是：
是0；
利用对称性，Sn为等差数列{an}前n项和，
则可以设Sn为关于x的二次函数f(x)，其常数项是0
,既然Sn=Sm，那么对称轴为x=(m+n)/2，
Sm+n=f(m+n)=f(0)=0;
Sn=na1+n(n-1)d/2=m
Sm=ma1+m(m-1)d/2=n
S(m+n)=(m+n)a1+(m+n)((m+n)-1)d/2
化简得S(m+n)=m+n+2mn
设第一项为a，公差为d，
则 Sn=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d], Sm=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(m-1)d]
Sm+n=a+(a+d)+...+[a+(m-1)d]+[a+md]+[a+(m+1)d]+...+[a+(m+n-1)d]
={a+(a+d)+...+[a+(m-1)d]}+{a+(a+d)+...+[a+(n-1)d]}+{md+md+...+md}
=Sm+Sn+mnd
Sn=a1+(n-1)d=m...①
Sm=a1+(m-1)d=n...②
①-②得
(n-m)d=m-n
所以d=-1
代入①
a1+1-n=m
所以a1=m+n-1
Sm+n=a1+(m+n-1)d=m+n-1+(m+n-1)×（-1）=0
d为公差，a1为首项
am+1=a1+md，am+n=an+md
Sm+n=Sm+am+1+~~~+am+n=Sm+mnd+Sn
又因为Sn=m=na1+n(n-1)d,Sm=n=ma1+m(m-1)d
可以算出d的值
带入Sm+n=Sm+Sn+mnd就行了！