作业帮已知n,k均大于1 的整数,求证：1+1/2k次方+1/3k+…..+1/nk ﹤2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 08:14:23
已知n,k均大于1 的整数,求证：1+1/2k次方+1/3k+…..+1/nk ﹤2
已知n,k均大于1 的整数,求证：1+1/2k次方+1/3k+…..+1/nk ﹤2
已知n,k均大于1 的整数,求证：1+1/2k次方+1/3k+…..+1/nk ﹤2
1+1/2^k+1/3^k+…..+1/n^k ﹤2
即求 1/2^k+1/3^k+…..+1/n^k 1
n^K > n^K-1>0
即 1>（n^k-1)/n^k>0
即 1>1-（n^k-1)/n^k>0
即 1>1/n^k>0
因为 k.>=2
n属于（1,正无穷）
在（1,正无穷）上f（n）=n^k 为增函数
则 y=1/n^k在（1,正无穷）上为减函数
即 1/2^k+1/3^k+…..+1/n^k
∵n,k均大于1 的整数，∴k>=2，∴1+1/2^k+1/3^k+…..+1/n^k <=1+1/2^2+1/3^2+…..+1/n^2
由于1/n^2=1/(n×n)<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
∴1+1/2^k+1/3^k+…..+1/n^k
<=1+1/2^2+1/3^2+…..+1/n^2
<1+(1-1/2)+(1/2-1...
全部展开
∵n,k均大于1 的整数，∴k>=2，∴1+1/2^k+1/3^k+…..+1/n^k <=1+1/2^2+1/3^2+…..+1/n^2
由于1/n^2=1/(n×n)<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
∴1+1/2^k+1/3^k+…..+1/n^k
<=1+1/2^2+1/3^2+…..+1/n^2
<1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+[1/(n-1)-1/n]
=1+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/(n-1)-1/n
=2-1/n
<2
收起