如图,当边长为2的正方形ABCD的两顶点A,B分别在坐标轴Oy、Ox上移动时,线段OC的最大值是答案是根号5+1,其他答案免谈了,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/18 07:33:04

如图,当边长为2的正方形ABCD的两顶点A,B分别在坐标轴Oy、Ox上移动时,线段OC的最大值是答案是根号5+1,其他答案免谈了,
如图,当边长为2的正方形ABCD的两顶点A,B分别在坐标轴Oy、Ox上移动时,线段OC的最大值是
答案是根号5+1,其他答案免谈了,

如图,当边长为2的正方形ABCD的两顶点A,B分别在坐标轴Oy、Ox上移动时,线段OC的最大值是答案是根号5+1,其他答案免谈了,
这是一个初中的题,不要搞得太复杂
取AB的中点M,连接OM,CM
易得OM=1/2AB=1,CM=√5（利用勾股定理可得）
根据三角形两边之和大于第三边,可知OC≤OM+CM
只有当O、M、C共线时,等号成立
∴OC的最大值为√5+1

设A(0，y)，B(0，x)，则x^2+y^2=AB^2=4

做CE垂直OB于E。

可证△OAB全等△EBC。则OA=EB=y，OB=OC=x。

考虑直角三角形EOC。

OC^2=(x+y)^2+x^2.

问题转换为：已知x^2+y^2=4，求(x+y)^2+x^2最大值。

令x/2=sinA，y/2=cosA，则：

(x+y)^2+x^2

=4+8sinAcosA+4(sinA)^2

因sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2；

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

4+8sinAcosA+4(sinA)^2

=6+4sin2A-2cos2A

=6+2√5sin(2A+φ)

故OC^2最大值为6+2√5。

则OC=(6+2√5)^0.5=√5+1。

楼上有点多，现说个一目了然的方法：
分析运动过程中线段AB的位置（题目中唯一的变量就是AB的位置）
A、B两点是对称的（即A、B互换后结果不变），同样C、D也是对称的
即，C、D同时取得最大值
因为是求最值，肯定就一个，由此可以猜到当线段在运动过程中具有唯一位置时有最值，即三角形AOB为等腰直角时，这时OC、OD相等，角COB=角DOC=角AOD=30度...

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其实题目在直角坐标系里就容易做了先设A(0，y)，B(0，x)，则x^2+y^2=AB^2=4
做CE垂直OB于E。
可证△OAB全等△EBC。则OA=EB=y，OB=OC=x。
考虑直角三角形EOC。
OC^2=(x+y)^2+x^2.
于是将一道复杂的集合题目化为了代数题目
问题转换为：已知x^2+y^2=4，求(x+y)^2+x^2最大值。
令x/2=sinA，y/2=cosA，则：
(x+y)^2+x^2
=4+8sinAcosA+4(sinA)^2
因sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2；
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

4+8sinAcosA+4(sinA)^2
=6+4sin2A-2cos2A
=6+2√5sin(2A+φ)
故OC^2最大值为6+2√5。
则OC=(6+2√5)^0.5=√5+1。

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答案是5+1过程是。。笨人的余光不小心扫到了答案。。