作业帮高数多元函数微分证明...有追设函数u=f(z)而z=z(x,y)由z=x+yg(z)[1-yg'(z)≠0,f,g可导]所确定,证明u/y=g(z)u/x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:45:04
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高数多元函数微分证明...有追设函数u=f(z)而z=z(x,y)由z=x+yg(z)[1-yg'(z)≠0,f,g可导]所确定,证明u/y=g(z)u/x
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设函数u=f(z)而z=z(x,y)由z=x+yg(z)[1-yg'(z)≠0,f,g可导]所确定,证明u/y=g(z)u/x
高数多元函数微分证明...有追设函数u=f(z)而z=z(x,y)由z=x+yg(z)[1-yg'(z)≠0,f,g可导]所确定,证明u/y=g(z)u/x
你最后证明的应该是∂u/∂y=g(z)(∂u/∂x)吧.
要记住,∂u/∂y应是一整体,对u求y的偏导数,不是理解成除法,即∂u除以∂y,这是错的.
题目中说了z=z(x,y)由z=x+yg(z)[1-yg'(z)≠0,f,g可导]所确定,即z是关于x,y的二元函数,由方程决定.题目中已经给出由后面的z=x+yg(z)决定,所以不需要证明.（这里说明一下,方程决定隐函数,是有条件的,隐函数,就是比如xy=e^z+sinz这种,你解不出z=z(x,y),但是有这层函数关系的,[1-yg'(z)≠0,f,g可导]这就是一个条件）呵呵我有点罗嗦吧.主要是想让你弄清楚
下面就开始：设F=z-x-yg(z),则两边对z求偏导,∂F/∂z=1-y(∂g/∂z)（这里∂g/∂z就是对g关于z求偏导,即g'(z),一般不这么写）
对x求偏导∂F/∂x=-1,对y求偏导∂F/∂y=-g(z).求偏导就是把其他变量当常数,求法同一元.
这里我们有公式∂z/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂z),∂z/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂z).
然后,对u=f(z)两边对x求偏导,∂u/∂x=(∂f/∂z)(∂z/∂x)=(∂f/∂z)(1/1-y(∂g/∂z)){复合函数求导}
u=f(z)两边对y求偏导,∂u/∂y=(∂f/∂z)(∂z/∂y)=(∂f/∂z)(g(z)/1-y(∂g/∂z))
所以∂u/∂y=(∂u/∂x)g(z).证毕.
公式,隐函数求偏导数的章节里都有讲,详细太多,就不说了.