已知函数f(x)=ax³+bx²在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)的导函数g'(x)的最小值为0..⑴求函数f(x)的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/18 05:28:17
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已知函数f(x)=ax³+bx²在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)的导函数g'(x)的最小值为0..⑴求函数f(x)的
已知函数f(x)=ax³+bx²在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;
函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)的导函数g'(x)的最小值为0..⑴求函数f(x)的解析式;⑵求实数m的值;⑶求证:g(x)≥-7.
已知函数f(x)=ax³+bx²在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)的导函数g'(x)的最小值为0..⑴求函数f(x)的
(1)由f(x)=ax^3+bx^2
得:f'’(x)=3ax^2+2bx
由于f(x)=ax^3+bx^2在x=-1处取极值
则有:f’(-1)=0
即:3a-2b=0 ----(1)
又:f(x)在x=1处的切线的斜率为12
则:f’(1)=12
即:3a+2b=12 ----(2)
由(1)(2)得:a=2,b=3
则f(x)=2x^3+3x^2
(2)
g(x)=f(x)+mx=2x^3+3x^2+mx
则g’(x)=6x^2+6x+m
则g’(x)图像的对称轴为x=-1/2
由于x∈[1,+∞)
则由图像可得x=1时,g’(x)取最小值g’(1)
又g'(x)的最小值为0
则:g’(1)=0
则:6+6+m=0
则:m=-12
(3)
g(x)=2x^3+3x^2-12x
g’(x)=6x^2+6x-12=6(x-1)(x+2)
由于x>=1
则当x=1时,g' (x)=0
由g' (x)图像可知:
x>=1时,g' (x)>=0恒成立
即:x>=1时,g(x)单调递增
故g(x)在[1,+∞)上的最小值为g(1)
则:g(x)>=g(1)
又:g(1)=2*1+3*1-12*1=-7
则:g(x)>=-7