作业帮那位大师可解!椭圆左右焦点F1、F2 ,P椭圆上任意一点,向量PF1乘向量PF2的最大值的取值范围是[c方,3倍c方] 求离心率的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 19:30:51
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那位大师可解!椭圆左右焦点F1、F2 ,P椭圆上任意一点,向量PF1乘向量PF2的最大值的取值范围是[c方,3倍c方] 求离心率的取值范围
那位大师可解!
椭圆左右焦点F1、F2 ,P椭圆上任意一点,向量PF1乘向量PF2的最大值的取值范围是[c方,3倍c方] 求离心率的取值范围
那位大师可解!椭圆左右焦点F1、F2 ,P椭圆上任意一点,向量PF1乘向量PF2的最大值的取值范围是[c方,3倍c方] 求离心率的取值范围
设 P（x,y）是椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上任一点,
则 PF1=（-c-x,-y）,PF2=（c-x,-y）,
所以 PF1*PF2=(-c-x)(c-x)+(-y)(-y)=x^2+y^2-c^2=x^2+b^2*(1-x^2/a^2)-c^2=c^2/a^2*x^2+b^2-c^2 ,
由于 -a<=x<=a ,因此 0<=x^2<=a^2 ,
所以 PF1*PF2 的最大值为 c^2/a^2*a^2+b^2-c^2=b^2 ,
由已知可得 c^2<=b^2<=3c^2 ,
即 c^2<=a^2-c^2<=3c^2 ,
所以 1/4*a^2<=c^2<=1/2*a^2 ,
同除以 a^2 得 1/4<=e^2<=1/2 ,
所以 1/2<=e<=√2/2 .
P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任意一点，
∴|PF1|+|PF2|=2a,设|PF1|=t,则
a-c<=t<=a+c,
∴PF1^2+PF2^2=t^2+(2a-t)^2=2t^2-4at+4a^2
=2(t-a)^2+2a^2,∈[2a^2,2a^2+2c^2],
∴PF1*PF2=(PF1^2+PF2^2-4c^2)/2,
的最大值为（2a^2+2c^2-4c^2)/2=b^2.
∴c^2
不懂就问老师