已知A是n矩阵,A^2=A,且秩(A)=r,证明A可以相似对角化,并求A的相似对角形以及行列式|A+E|的值.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 19:36:53

已知A是n矩阵,A^2=A,且秩(A)=r,证明A可以相似对角化,并求A的相似对角形以及行列式|A+E|的值.
已知A是n矩阵,A^2=A,且秩(A)=r,证明A可以相似对角化,并求A的相似对角形以及行列式|A+E|的值.

已知A是n矩阵,A^2=A,且秩(A)=r,证明A可以相似对角化,并求A的相似对角形以及行列式|A+E|的值.
因为 A^2=A
所以 A 的特征值只能是 0 和 1.
且由 A(E-A)=0 得 r(A)+r(E-A)

因为 A^2=A
所以 A 的特征值只能是 0 和 1.
且由 A(E-A)=0 得 r(A)+r(E-A)<=n
又因为 n=r(E)=r(A+E-A)<=r(A)+r(E-A)
所以 r(A)+r(E-A)=n.
即有 n-r(A) + n-r(E-A) = n.
所以 AX=0 的基础解系与 (E-A)X=0 的基础解系共有n个向量

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因为 A^2=A
所以 A 的特征值只能是 0 和 1.
且由 A(E-A)=0 得 r(A)+r(E-A)<=n
又因为 n=r(E)=r(A+E-A)<=r(A)+r(E-A)
所以 r(A)+r(E-A)=n.
即有 n-r(A) + n-r(E-A) = n.
所以 AX=0 的基础解系与 (E-A)X=0 的基础解系共有n个向量
所以A有n个线性无关的特征向量
所以A可对角化.
又由 r(A)=r
所以A的特征值为 1,...,1,0,...,0 (r个1, n-r个0)
--可对角化的矩阵的秩等于矩阵的非零特征值的个数
所以A的相似对角形矩阵为 diag(1,...,1,0,...,0)
又因为 A+E 的特征值为 2,...,2,1,...,1
所以 |A+E| = 2^r.

收起

已知矩阵A为n阶矩阵,且满足A^2=E 则矩阵A的秩为n 已知A为n阶矩阵,且A^2=A; 求(A-2E)^-1 已知n阶矩阵A满足矩阵方程A^2-2A-3E=0,且A-E可逆,求A-E的逆矩阵? 已知n阶对称矩阵A(未必可逆)满足A^=2A,证明A-I是正交矩阵设A是m*n的实矩阵,且rank(A)=n,证明A^T A是正定矩阵设A 为n×n矩阵,且 A*2=E,证明：秩（A+E)+秩（A-E)=n A是n阶正定矩阵,B是n阶半正定矩阵,A^2=B^2.证明：B是正定矩阵,且A与B相似已知A是n矩阵,A^2=A,且秩(A)=r,证明A可以相似对角化,并求A的相似对角形以及行列式|A+E|的值. A,B是n阶矩阵,且A是满秩矩阵,为什么R(AB)=R(B)? 已知A为n阶矩阵且可逆,A*为其伴随矩阵则 A* ^-1= 设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0 设A是n阶矩阵,且A^2-A=E,则（A+E)^-1=? 设A是n阶实对称矩阵,且A^2=A,R(A)=r(0 设A是n阶矩阵,满足AA^T=E(E是n阶单位矩阵),A^T是A的转置矩阵,且|A| 设A是n阶矩阵,满足AA^T=E(E是n阶单位矩阵),A^T是A的转置矩阵,且|A| 设 a是方阵,a'是a的转置矩阵,且a'的秩r(a')=n-1则a的秩r(a)＝已知：n阶矩阵A满足A=A平方,证明：E-2A可逆且（E-2A）的负一次方等于E-2A A是三阶矩阵,且|A|=2则||A'|A|=?（A'是A的伴随矩阵）急需!