能不能帮忙给出三元均值不等式的证明啊我指的是一般形式的三元均值不等式 a+b+c 开头的那个看过了不过还是不懂我就是一个半职业 SB我是高二的下游生不要用我不知道的东西证明。

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 07:08:14

能不能帮忙给出三元均值不等式的证明啊我指的是一般形式的三元均值不等式 a+b+c 开头的那个看过了不过还是不懂我就是一个半职业 SB我是高二的下游生不要用我不知道的东西证明。
能不能帮忙给出三元均值不等式的证明啊我指的是一般形式的三元均值不等式 a+b+c 开头的那个
看过了不过还是不懂
我就是一个半职业 SB
我是高二的下游生不要用我不知道的东西证明。

N元的证明参见http://zhidao.baidu.com/question/31045233.html?fr=ala0

或http://wenku.baidu.com/view/2d95fe3a580216fc700afd10.html,单独证明三元的好像比较难,还是归纳法比较好,不过只证三元可以把归纳过程简化成一步.

简化的证明如下图所示,是我自己写的,虽然有点复杂,但很好理解.

(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
两边3次方
(a+b+c)^3>=27abc
左边展开
a^3+b^3+c^3+3(a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a+c^2b)+6abc-27abc>=0
<==>a^3+b^3+c^3+3(a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a+c^2b)-21abc>=0
<==>[(7a+b+c)(b-c)^2+(7b+c+a)(c-a)^2+(7c+a+b)(a-b)^2]/2>=0
显然当a,b,c>=0时，3元均值不等式成立

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