作业帮设a,b,c,d都是正数,且x=√(a^2+b^2) ,y=√(c^2+d^2).求证：xy≥√（ac+bd）(ad+bc)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 14:41:55
设a,b,c,d都是正数,且x=√(a^2+b^2) ,y=√(c^2+d^2).求证：xy≥√（ac+bd）(ad+bc)
设a,b,c,d都是正数,且x=√(a^2+b^2) ,y=√(c^2+d^2).求证：xy≥√（ac+bd）(ad+bc)
设a,b,c,d都是正数,且x=√(a^2+b^2) ,y=√(c^2+d^2).求证：xy≥√（ac+bd）(ad+bc)
(a²+b²)(c²+d²)
=a²·c² +b²·d²+a²·d²+b²·c²
=a²·c² +2abcd+b²·d²+a²·d²－2abcd+b²·c²
=(ac+bd)²+(ad－bc)²
≥(ac+bd)²,当且仅当ad=bc时取等号.
同理：
(a²+b²)(c²+d²)
=a²·c² +b²·d²+a²·d²+b²·c²
=a²·d² +2abcd+b²·c²+a²·c²－2abcd+b²·d²
=(ad+bc)²+(ac－bd)²
≥(ad+bc)²,当且仅当ac=bd时取等号.
∴两式相乘,得：
(a²+b²)²(c²+d²)²≥(ac+bd)²(ad+bc)²
即：(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)(ad+bc)
∴√[(a²+b²)(c²+d²)]≥√[(ac+bd)(ad+bc)]
即：xy≥√[(ac+bd)(ad+bc)],当且仅当a=b,c=d时等号成立.
x^2y^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)……1式
(ac+bd)(ad+bc)=a^2cd+abc^2+abd^2+b^2cd=(a^2+b^2)cd+ab(c^2+d^2)……2式
因为 c^2-2cd+d^2大于等于0 所以 c^2+d^2大于等于2cd,同理a^2+b^2大于等于2ab
2式小于等于 1/2(a^2+b^2)(c^2+d^2)+1/2(a^2...
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x^2y^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)……1式
(ac+bd)(ad+bc)=a^2cd+abc^2+abd^2+b^2cd=(a^2+b^2)cd+ab(c^2+d^2)……2式
因为 c^2-2cd+d^2大于等于0 所以 c^2+d^2大于等于2cd,同理a^2+b^2大于等于2ab
2式小于等于 1/2(a^2+b^2)(c^2+d^2)+1/2(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2) 即1式
两边同时开根号即结论
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