在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E求证AC×AF=DF×FE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 01:34:32
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在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E求证AC×AF=DF×FE
在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E
求证AC×AF=DF×FE
在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E求证AC×AF=DF×FE
∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由"圆的内接四边形外角等于它的内对角"知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE
∴AC:FE=CD:AF
AC×AF=DF×FE
证明:由题意有∠MCD=∠ACD=∠DBA,
又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°,
∴∠MCD=∠DAB,
∴∠DAB=∠DBA即△.
ABD为等腰三角形.
∴AD=BD,BC=AF,则弧AFD=弧BCD,弧AF=弧BC,
∴弧CD=弧DF,∴弧CD=弧DF…①
又BC=AF,∴∠BDC=∠ADF,∠BDC+∠BDA=∠ADF...
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证明:由题意有∠MCD=∠ACD=∠DBA,
又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°,
∴∠MCD=∠DAB,
∴∠DAB=∠DBA即△.
ABD为等腰三角形.
∴AD=BD,BC=AF,则弧AFD=弧BCD,弧AF=弧BC,
∴弧CD=弧DF,∴弧CD=弧DF…①
又BC=AF,∴∠BDC=∠ADF,∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA,即∠CDA=∠BDF,
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°,∴∠FAE=∠BDF=∠CDA,
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中,∠CDA=∠FAE,∠DCA=∠AFE,
∴△CDA∽△FAE,
∴即CD•EF=AC•AF
又由①有AC•AF=DF•EF命题即证
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