作业帮怎么用向量证明“正方形的对角线垂直平分”?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 07:08:04
怎么用向量证明“正方形的对角线垂直平分”?
怎么用向量证明“正方形的对角线垂直平分”?
怎么用向量证明“正方形的对角线垂直平分”?
首先设正方形ABCD相邻的两边AB与AD为向量a、b
则|a|=|b|且a⊥b
两条对角线分别可表示为a+b和a-b
∵(a+b)·(a-b)=a^2-b^2=|a|^2-|b|^2=0
∴a+b与a-b垂直
设两对角线的交点为O
∵向量AO在对角线AC上
∴设AO=s(a+b)=s·a+s·b
∵O点在对角线BD上
∴设AO=a+t(b-a)=(1-t)·a+t·b
根据平面向量基本定理,AO表示为a、b的系数唯一
∴s=1-t 且 s=t
∴s=t=1/2
∴O点平分对角线AC、BD.
AC=AB+BC，BD=AD-AB=BC-AB
故：AC·BD=(AB+BC)·(BC-AB)=|BC|^2-|AB|^2=0
故：AC⊥BD
证明平分有多种方法，用三角形全等可以的
用向量也可以，稍微麻烦些，设交点是O：
AB=AO+OB，BC=BO+OC
故：AB·BC=AO·BO+AO·OC-|OB|^2+OB·OC
=AO·OC-|O...
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AC=AB+BC，BD=AD-AB=BC-AB
故：AC·BD=(AB+BC)·(BC-AB)=|BC|^2-|AB|^2=0
故：AC⊥BD
证明平分有多种方法，用三角形全等可以的
用向量也可以，稍微麻烦些，设交点是O：
AB=AO+OB，BC=BO+OC
故：AB·BC=AO·BO+AO·OC-|OB|^2+OB·OC
=AO·OC-|OB|^2=0，即：|OB|^2=AO·OC
AD=AO+OD，DC=DO+OC
故：AD·DC=AO·DO+AO·OC-|OD|^2+OD·OC
=AO·OC-|OD|^2=0，即：|OD|^2=AO·OC
故：|OB|=|OD|，同理可得：|OA|=|OC|
收起
两个向量相乘，乘积为0