作业帮高斯函数y=[x]表示不超过x的最大整数,求解方程[x]+[x2]=[x3]
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 02:12:18
![高斯函数y=[x]表示不超过x的最大整数,求解方程[x]+[x2]=[x3]](/uploads/image/z/13395464-8-4.jpg?t=%E9%AB%98%E6%96%AF%E5%87%BD%E6%95%B0y%3D%5Bx%5D%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E4%B8%8D%E8%B6%85%E8%BF%87x%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%95%B4%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%A7%A3%E6%96%B9%E7%A8%8B%5Bx%5D%2B%5Bx2%5D%3D%5Bx3%5D)
高斯函数y=[x]表示不超过x的最大整数,求解方程[x]+[x2]=[x3]
高斯函数y=[x]表示不超过x的最大整数,求解方程[x]+[x2]=[x3]
高斯函数y=[x]表示不超过x的最大整数,求解方程[x]+[x2]=[x3]
设f(x) = x³-x²-x,有f'(x) = 3x²-2x-1 = (3x+1)(x-1).
当x ≥ 1或x ≤ -1/3时f'(x) ≥ 0,故f(x)在(-∞,-1/3]和[1,+∞)上单调递增.
而当-1/3 ≤ x ≤ 1时,f'(x) ≤ 0,故f(x)在[-1/3,1]上单调递减.
f(2) = 2,故x ≥ 2时f(x) ≥ 2,
然而方程的根满足x+x² ≥ [x]+[x²] = [x³] > x³-1,即f(x) < 1 < 2,因此有x < 2.
另一方面,f(-2) = -10,故x ≤ -2时f(x) ≤ -10,
但方程的根满足x+x²-2 < [x]+[x²] = [x³] ≤ x³,即f(x) > -2 > -10,因此有x > -2.
于是-2 < x < 2,[x]的可能取值为-2,-1,0,1.
问题化为在(-2,-1),[-1,0),[0,1)和[1,2)内分别求解
-2+[x²] = [x³],-1+[x²] = [x³],[x²] = [x³]和1+[x²] = [x³].
比较简单的是对任意x ∈ [0,1),有x²,x³ ∈ [0,1).
此时[x] = [x²] = [x³] = 0,等式[x]+[x²] = [x³]成立,即[0,1)中的数都是解.
而对任意x ∈ (-1,0),有x² ∈ (0,1),x³ ∈ (-1,0).
此时[x] = [x³] = -1,[x²] = 0,等式[x]+[x²] = [x³]也成立,即(-1,0)中的数也都是解.
将x = ±1代入可知,它们都不是方程的解.
剩下只要在(-2,-1)和(1,2)内分别求解-2+[x²] = [x³]和1+[x²] = [x³].
当x ∈ (-2,-1),有1 < x²,故[x²] ≥ 1,[x]+[x²] ≥ -1.
然而x³ < -1,故[x³] < -1 ≤ [x]+[x²],等式不能成立,方程在此范围内无解.
当x ∈ (1,2),有1 < x² < 4,[x²]的可能取值为1,2,3.
对x ∈ (1,√2),有1 < x² < 2,[x²] = 1.
在此范围内解[x]+[x²] = [x³]即[x³] = 2得x ∈ [³√2,√2).
对x ∈ [√2,√3),有2 ≤ x² < 3,[x²] = 2.
在此范围内解[x]+[x²] = [x³]即[x³] = 3得x ∈ [³√3,√4) (注意√2 < ³√3 < ³√4 < √3).
对x ∈ [√3,2),有3 ≤ x² < 4,[x²] = 3.
然而x³ ≥ √27 > √25 = 5,故[x³] ≥ 5 > 4 = [x]+[x²],等式不能成立,方程在此范围内无解.
综上,方程的解集为(-1,1)∪[³√2,√2)∪[³√3,√4).