作业帮一道双曲线轨迹方程题双曲线实轴平行x轴,离心率e=3/2,它的左分支经过圆x^2+y^2+4x-10y+20=0的圆心M,双曲线左焦点在此圆上,求双曲线右顶点的轨迹方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:56:51
一道双曲线轨迹方程题双曲线实轴平行x轴,离心率e=3/2,它的左分支经过圆x^2+y^2+4x-10y+20=0的圆心M,双曲线左焦点在此圆上,求双曲线右顶点的轨迹方程.
一道双曲线轨迹方程题
双曲线实轴平行x轴,离心率e=3/2,它的左分支经过圆x^2+y^2+4x-10y+20=0的圆心M,双曲线左焦点在此圆上,求双曲线右顶点的轨迹方程.
一道双曲线轨迹方程题双曲线实轴平行x轴,离心率e=3/2,它的左分支经过圆x^2+y^2+4x-10y+20=0的圆心M,双曲线左焦点在此圆上,求双曲线右顶点的轨迹方程.
作参考函数图象如下：
圆M方程 (x+2)^2+(y-5)^2=9；
设双曲线右顶点某一时刻的坐标为(X,Y),则左顶点坐标可表示为(X-2a,Y), 其中a为实半轴；由离心率e=3/2知半焦距c=a*e=3a/2,左焦点F的坐标是(X-a-c,Y),即(X-5a/2,Y)按题条件它位于圆M上；
F满足M的方程：(X-5a/2+2)^2+(Y-5)^2=9；……①
双曲线半虚轴b=√(c^2-a^2)=√5*a/2；其中心在(X-a,Y),方程可表示为：
(x-X+a)^2/(a^2)-(y-Y)^2/(√5a/2)^2=1；
它经过圆M的中心(-2,5),故有：(-2-X+a)^2/a^2-(5-Y)^2/(5a^2/4)=1；
由上式求得a*(5/2)=5(X+2)/4-(5-Y)^2/(X+2),代入①式即得双曲线右顶点规迹方程：
[X-5(X+2)/4+(5-Y)^2/(X+2)+2]^2+(Y-5)^2=9；
[-(X+2)/4+(Y-5)^2/(X+2)]^2+(y-5)^2=9 ；
再次化简得：[(X+2)^2/4+(Y-5)^2]=±3(X+2)；
可以看出,上式代表两个椭圆方程(X+2±6)^2/4+(Y-5)^2=9,其中心坐标分别是(-8,5)和(2,5)；中心在(-8,5)的规迹方程实为当双曲线右支通过圆M的增根,应舍去.最后得到的规迹方程为：
(X-2)^2/(6)^2+(y-5)^2/3^2=1；
该椭圆长半轴a=6,短半轴b=3,中心(2,5)；