如图,菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,P为对角线AC上的一点,∠MPN的两边PM、PN与菱形边AD、CD分别相交于M、N,且∠MPN=60°(1)当点P与点O重合时,求证:AM+CN=跟号3 AO(2)点P在线段OA上(不与点A
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 03:40:40
![如图,菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,P为对角线AC上的一点,∠MPN的两边PM、PN与菱形边AD、CD分别相交于M、N,且∠MPN=60°(1)当点P与点O重合时,求证:AM+CN=跟号3 AO(2)点P在线段OA上(不与点A](/uploads/image/z/12573027-27-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E8%8F%B1%E5%BD%A2ABCD%E5%AF%B9%E8%B1%A1%E7%BA%BF%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EO%2C%E2%88%A0ABC%3D120%C2%B0%2CP%E4%B8%BA%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFAC%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E2%88%A0MPN%E7%9A%84%E4%B8%A4%E8%BE%B9PM%E3%80%81PN%E4%B8%8E%E8%8F%B1%E5%BD%A2%E8%BE%B9AD%E3%80%81CD%E5%88%86%E5%88%AB%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EM%E3%80%81N%2C%E4%B8%94%E2%88%A0MPN%3D60%C2%B0%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%BD%93%E7%82%B9P%E4%B8%8E%E7%82%B9O%E9%87%8D%E5%90%88%E6%97%B6%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAM%2BCN%3D%E8%B7%9F%E5%8F%B73+AO%EF%BC%882%EF%BC%89%E7%82%B9P%E5%9C%A8%E7%BA%BF%E6%AE%B5OA%E4%B8%8A%EF%BC%88%E4%B8%8D%E4%B8%8E%E7%82%B9A)
如图,菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,P为对角线AC上的一点,∠MPN的两边PM、PN与菱形边AD、CD分别相交于M、N,且∠MPN=60°(1)当点P与点O重合时,求证:AM+CN=跟号3 AO(2)点P在线段OA上(不与点A
如图,菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,P为对角线AC上的一点,∠MPN的两边PM、PN与菱形边AD、CD分别相交于M、N,且∠MPN=60°
(1)当点P与点O重合时,求证:AM+CN=跟号3 AO
(2)点P在线段OA上(不与点A、O重合)若AP=2PO,则线段AM、CN、AO满足的数量关系为:2AM+CN= AO;
如图,菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,P为对角线AC上的一点,∠MPN的两边PM、PN与菱形边AD、CD分别相交于M、N,且∠MPN=60°(1)当点P与点O重合时,求证:AM+CN=跟号3 AO(2)点P在线段OA上(不与点A
郭敦顒回答:
∵菱形ABCD对象线相交于O,∠ABC=120°,
∴∠BAD=60°,AB=BC=CD=AD=BD,
(1)当点P与点O重合时,求证:AM+CN=(√3 )AO
当OM⊥AD,ON⊥CD时,∠MON=∠MPN =60°,符合题设条件,
此时,∠AOM=60°,AM=AOsin60°=[(√3 )/2]AO,CN=AM
∴AM+CN=(√3 )AO,这是在特殊情况下的证明.下面给出一般情况下的证明:
在△AOM中,令∠AOM=∠1<90°,∠AMO=∠3=150°-∠1,
在△CON中,令∠CON=∠2<90°=120°-∠1,
∠CNO=∠4=150°-∠2=150°-(120°-∠1)=30°+∠1,
则∠1+∠2=180°-60°=120°,∠3+∠4=180°,∠4=180°-∠3,
按正弦定理,
AM/sin∠1=AO/sin∠3=OM/sin30°,CN/sin∠2=COsin∠4=AO/sin∠3=ON/sin30°
∴OM=ON
∴AM=AOsin∠1/sin30°,CN= AOsin∠2/sin30°
AM+CN=OM(sin∠1+ sin∠2)/ sin30°=OM[sin∠1+ sin(120°-∠1)]/ sin30°
∴AM+CN=
AO(sin∠1+ sin∠2)/ sin∠3=AO[sin∠1+ sin(120°-∠1)]/ sin(150°-∠1)
按三角函数的和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
[sin∠1+ sin(120°-∠1)]=2 sin60°cos(60°-∠1)
∵2 sin60°=√3,
又∵cos(60°-∠1)/ sin(150°-∠1)= cos(-∠1)/ sin(90°-∠1)=1
∴AM+CN=(√3 )AO