作业帮α,β是锐角,且α+β=2π/3,求cos^α+cos^β的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 17:20:31
α,β是锐角,且α+β=2π/3,求cos^α+cos^β的取值范围.
α,β是锐角,且α+β=2π/3,求cos^α+cos^β的取值范围.
α,β是锐角,且α+β=2π/3,求cos^α+cos^β的取值范围.
cos^2α+cos^2β
=(1+cos2α)/2+(1+cos2β)/2
=1+1/2*(cos2α+cos2β)
=1+1/2*2*cos(α+β)*cos(α-β)
=1-1/2*cos(α-β)
α,β是锐角,且α+β=2π/3,
所以
0
根号3~1
a+b=120º
y=cos²a+cos²b
2y=2cos²a+2cos²b
=1+[cos(2a)]+1+[cos(2b)]
=2+cos(2a)+cos(2b)
=2+2cos(a+b)cos(a-b)
=2+2cos120ºcos(a-b)
=2+2(-1/2)cos(a-b...
全部展开
a+b=120º
y=cos²a+cos²b
2y=2cos²a+2cos²b
=1+[cos(2a)]+1+[cos(2b)]
=2+cos(2a)+cos(2b)
=2+2cos(a+b)cos(a-b)
=2+2cos120ºcos(a-b)
=2+2(-1/2)cos(a-b)
=2-cos(a-b)
∴2-2y=cos(a-b)
结合a,b均是锐角，及a+b=120º可得
0＜a=120º-b＜90º且0º＜b=120º-a＜90º
∴30º＜b＜90º,且30º＜a＜90º
∴30º＜a＜90º
-90º＜-b＜-30º
∴-60＜a-b＜60º
∴1/2＜cos(a-b)≤1
∴1/2＜2-2y≤1
∴1/2≤y＜3/4
即1/2≤cos²a+cos²b＜3/4
收起
α+β=2π/3 =>α+π/3 =π-β
cosα+cosβ=cosα-cos(π-β)=cosα-cos(π-β)=cosα-cos(α+π/3)=cosα-cosα*cos(π/3)+sinα*sin(π/3)=
cosα-cosα*1/2+sinα*根号3/2=1/2*cosα+sinα*根号3/2=cos(α-π/3)
由于0<β<π/2,所以π/6<α<π/2,所以-π/6<α-π/3<π/6，所以 根号3/2