请用错位相减法求bn=(2n-1)/3^n的前n项和Tn

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 10:05:26
请用错位相减法求bn=(2n-1)/3^n的前n项和Tn

请用错位相减法求bn=(2n-1)/3^n的前n项和Tn
请用错位相减法求bn=(2n-1)/3^n的前n项和Tn

请用错位相减法求bn=(2n-1)/3^n的前n项和Tn
Tn=1/3+3/3^2+5/3^3+7/3^4+……+(2n-1)/3^n
两边除以3 Tn/3= 1/3^2+3/3^3+5/3^4+……+(2n-1)/3^n+(2n+1)/3^(n+1)
两式相减 (1-1/3)Tn=1/3+2/3^2+2/3^3+2/3^4+……+2/3^n-(2n+1)/3^(n+1)
=1/3-(2n+1)/3^(n+1)+2/3^2[1-(1/3)^(n-1)]/(1-1/3)
Tn={1/3-(2n+1)/3^(n+1)+2/3^2[1-(1/3)^(n-1)]/(2/3)}/(2/3)
= 1/2-(2n+1)/[2*3^(n-2)]+1/3-1/3^n
关键:第一、二两行的同类项对齐.

S=1/3+3/3^2+5/3^3+…+(2n-1)/3^n
S/3= 1/3^2+3/3^3+…+(2n-3)/3^n+(2n-1)/3^(n+1)
2/3*S=2/3+2/3^2+2/3^3+…+2/3^n-(2n-1)/3^(n+1)-1/3
=2(1-1/3^n)/(1-1/3)-(2n-1)/3^(n+1)-1/3
=(3-3/3^n)-(2n-1)/3^(n+1)-1/3
S=(9-9/3^n)/2-(2n-1)3/(2*3^(n+1))-2=5/2-(n+4)/3^n
S=5/2-(n+4)/3^n