问几道平面几何题(斯特瓦尔特定理的)在三角形ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点P1,P2……P100,记m(i)=AP(i)^2+BP(i)·P(i)C,求m(1)+ ……m(100)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 11:54:04
![问几道平面几何题(斯特瓦尔特定理的)在三角形ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点P1,P2……P100,记m(i)=AP(i)^2+BP(i)·P(i)C,求m(1)+ ……m(100)](/uploads/image/z/12328463-47-3.jpg?t=%E9%97%AE%E5%87%A0%E9%81%93%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%A2%98%EF%BC%88%E6%96%AF%E7%89%B9%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%89%B9%E5%AE%9A%E7%90%86%E7%9A%84%EF%BC%89%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2CAB%3DAC%3D2%2CBC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E6%9C%89100%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E7%82%B9P1%2CP2%E2%80%A6%E2%80%A6P100%2C%E8%AE%B0m%28i%29%3DAP%28i%29%5E2%2BBP%28i%29%C2%B7P%28i%29C%2C%E6%B1%82m%281%29%2B+%E2%80%A6%E2%80%A6m%28100%29)
问几道平面几何题(斯特瓦尔特定理的)在三角形ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点P1,P2……P100,记m(i)=AP(i)^2+BP(i)·P(i)C,求m(1)+ ……m(100)
问几道平面几何题(斯特瓦尔特定理的)
在三角形ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点P1,P2……P100,记m(i)=AP(i)^2+BP(i)·P(i)C,求m(1)+ ……m(100)
问几道平面几何题(斯特瓦尔特定理的)在三角形ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点P1,P2……P100,记m(i)=AP(i)^2+BP(i)·P(i)C,求m(1)+ ……m(100)
由斯特瓦尔特定理,
BC*m(i)
=[AP(i)^2+BP(i)·P(i)C]*BC
=AB^2*P(i)C^2+AC^2*BP(i)^2
=4(P(i)C+BP(i))
=4BC 对任意i=1,2,...100 都成立,
所以 m(i)=4,m(1)+ ……m(100)=400.
缺条件,应该是101分点吧。
由 斯特瓦尔特定理 得
AB^2*P(i)C/BC + AC^2*BP(i)=m(i)
又 AB=BC=2 于是 m(i)=4/BC*(BP(I)+P(i)C)=4/BC*BC=4
于是 m(1)+...+m(100)=400
对任意一点Pi
在三角形ABPi和ACPi中使用余弦定理得
APi^2+BPi^2-AB^2=2APi*BPicos
CPi(APi^2+BPi^2-AB^2)=-BPi(APi^2+CPi^2-AC^2)
化简得...
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对任意一点Pi
在三角形ABPi和ACPi中使用余弦定理得
APi^2+BPi^2-AB^2=2APi*BPicos
CPi(APi^2+BPi^2-AB^2)=-BPi(APi^2+CPi^2-AC^2)
化简得BC*APi^2+BC*BPi*CPi=4BC
故APi^2+BPi*CPi=4
故m(i)=4 m1+m2+....+m100=400
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