2013华师大自招第二题··三角形三边abc 外接圆半径R 重心到外心距离d 求证a2+b2+c2+d2=9R2要详解 死在第二题自己感觉很丢脸··
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 15:39:33
![2013华师大自招第二题··三角形三边abc 外接圆半径R 重心到外心距离d 求证a2+b2+c2+d2=9R2要详解 死在第二题自己感觉很丢脸··](/uploads/image/z/11407400-8-0.jpg?t=2013%E5%8D%8E%E5%B8%88%E5%A4%A7%E8%87%AA%E6%8B%9B%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E9%A2%98%C2%B7%C2%B7%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E4%B8%89%E8%BE%B9abc+%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%9C%86%E5%8D%8A%E5%BE%84R+%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%88%B0%E5%A4%96%E5%BF%83%E8%B7%9D%E7%A6%BBd+%E6%B1%82%E8%AF%81a2%2Bb2%2Bc2%2Bd2%3D9R2%E8%A6%81%E8%AF%A6%E8%A7%A3+%E6%AD%BB%E5%9C%A8%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E9%A2%98%E8%87%AA%E5%B7%B1%E6%84%9F%E8%A7%89%E5%BE%88%E4%B8%A2%E8%84%B8%C2%B7%C2%B7)
2013华师大自招第二题··三角形三边abc 外接圆半径R 重心到外心距离d 求证a2+b2+c2+d2=9R2要详解 死在第二题自己感觉很丢脸··
2013华师大自招第二题··三角形三边abc 外接圆半径R 重心到外心距离d 求证a2+b2+c2+d2=9R2
要详解 死在第二题自己感觉很丢脸··
2013华师大自招第二题··三角形三边abc 外接圆半径R 重心到外心距离d 求证a2+b2+c2+d2=9R2要详解 死在第二题自己感觉很丢脸··
题目错了 应该是垂心到外心
这题第一反应是计算 算出d和三角形的关系然后代入a2+b2+c2+d2检验,不过这样会发现d其实不大好看(因为确定d我是用重心垂心外心三点共线且分比1:2算的,垂心外心距离就直接拿对着某条边作垂线平行线然后勾股定理)
另一个想法就是向量了,
设ABC外心O垂心H,则OH=OA+OB+OC(这里指的都是向量 下同)(这一点可以直接计算(OH-OA)*(OB-OC)=0等验证,换言之你可以先做出这么一个H再说他是垂心) 那么AB²+AC²+BC²+OH²=(OA-OB)²+(OA-OC)²+(OB-OC)²+(OA+OB+OC)²=3(OA²+OB²+OC²)=9R²
你可能将题目抄错了,需要证明的结论应该是:a^2+b^2+c^2+9d^2=9R^2。
[证明]
以△ABC的外心为原点建立平面直角坐标系,显然,△ABC的外接圆方程是:x^2+y^2=R^2。
∴可令A、B、C的坐标依次是:(Rcosα,Rsinα)、(Rcosβ,Rsinβ)、(Rcosγ,Rsinγ)。
令AB中点为D、△ABC的重心为G(m,n)。
...
全部展开
你可能将题目抄错了,需要证明的结论应该是:a^2+b^2+c^2+9d^2=9R^2。
[证明]
以△ABC的外心为原点建立平面直角坐标系,显然,△ABC的外接圆方程是:x^2+y^2=R^2。
∴可令A、B、C的坐标依次是:(Rcosα,Rsinα)、(Rcosβ,Rsinβ)、(Rcosγ,Rsinγ)。
令AB中点为D、△ABC的重心为G(m,n)。
由中点坐标公式,得D的坐标为(R(cosα+cosβ)/2,R(sinα+sinβ)/2)。
明显有:CG/DG=2,∴由定比分点坐标公式,有:
m=[Rcosγ+2R(cosα+cosβ)/2]/(1+2)=R(cosα+cosβ+cosγ)/3,
n=[Rsinγ+2R(sinα+sinβ)/2]/(1+2)=R(sinα+sinβ+sinγ)/3。
于是:
a^2=(Rcosβ-Rcosγ)^2+(Rsinβ-Rsinγ)^2=R^2(2-2cosβcosγ-2sinβsinγ)
b^2=(Rcosα-Rcosγ)^2+(Rsinα-Rsinγ)^2=R^2(2-2cosαcosγ-2sinαsinγ),
c^2=(Rcosα-Rcosβ)^2+(Rsinα-Rsinβ)^2=R^2(2-2cosαcosβ-2sinαsinβ)。
9d^2
=9[(m-0)^2+(n-0)^2]
=9{[R(cosα+cosβ+cosγ)/3-0]^2+[R(sinα+sinβ+sinγ)/3-0]^2}
=R^2[(cosα+cosβ+cosγ)^2+(sinα+sinβ+sinγ)^2]
=R^2(3+2cosαcosβ+2cosβcosγ+2cosαcosγ+2sinαsinβ+2sinβsinγ+2sinαsinγ)。
∴a^2+b^2+c^2+9d^2=9R^2。
收起