如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4,BC=6,∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接P

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 22:52:29

如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4,BC=6,∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接P
如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4,BC=6,∠B=60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x．
①当点N在线段AD上时（如图2）,△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长；若改变,请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值；若不存在,请说明理由．急!

如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4,BC=6,∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接P
(1) E点做辅助线垂直BC,交BC于G点,EG即为E点到BC的距离：
EG=BE*sin∠B=1/2AB*sin60º=√3
(2)①不变
PM=EG,MN=AB
做辅助线NH⊥EF,交EF于H点,设N交EF于K点,可以得出,⊿PMK≌⊿HNK,
PK=KH
PM⊥EF
∴PM²+PK²=MK²=BE²=4
∴PK=1
PN²=NH²+PH²=EG²+(2PK)²=3+4=7
PN=√7
⊿PMN的周长=PN+PM+MN=√7+√3+4
②辅助线NO⊥BC,交BC于O点,MN于EF交于K点,NO与EF交于H点
依题意,PN=PM=√3
AB=4,BC=6,∠B=60º,
∴AD=2,EF=4
MN∥AB,
MN=NC,∠PMC=90º,∠NMC=60º
∴∠PMN=∠PNM=30º
KH=HF,
PK=EF-KH-HF-EP
PK=MK*sin∠PMN=2*1/2=1
∠PMN=∠PNM=30º,
∴∠MNO=30º,
∴∠PNO=60º
∴PH=PN*sin60º=3/2
∴KH=PH-PK=3/2-1=1/2
∴x=EF-PH-FH=4-3/2-1/2=2
P点位EF的中点

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证明：（1）∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D．
∵M为AD的中点，
∴AM=DM．
∴△ABM≌△DCM．
∴BM=CM．
∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点，
∴EN= 1/2MC，FN= 1/2MB，ME= 1/2MB，MF= 1/2MC．
∴EN=FN=FM=EM．
∴四边形ENFM是菱形．
（2）结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．
理由：连接MN，
∵BM=CM，BN=CN，
∴MN⊥BC．
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD．
∴MN是梯形ABCD的高
又∵四边形MENF是正方形，
∴△BMC为直角三角形．
又∵N是BC的中点，
∴MN= 1/2BC．

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