集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为 答案为2^2008方法一:令f(x)=(1+x)(1+x^)(1+x^3)…(1+x^2009)(为什么?)则问题中要求的答案为f(x)的展开式中x的奇次项的系数和.故所求的答案
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 11:44:38
![集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为 答案为2^2008方法一:令f(x)=(1+x)(1+x^)(1+x^3)…(1+x^2009)(为什么?)则问题中要求的答案为f(x)的展开式中x的奇次项的系数和.故所求的答案](/uploads/image/z/8828780-68-0.jpg?t=%E9%9B%86%E5%90%88%7B1%2C2%2C3%2C%E2%80%A6%2C2009%7D%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%92%8C%E4%B8%BA%E5%A5%87%E6%95%B0%E7%9A%84%E9%9D%9E%E7%A9%BA%E5%AD%90%E9%9B%86%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0%E4%B8%BA+%E7%AD%94%E6%A1%88%E4%B8%BA2%5E2008%E6%96%B9%E6%B3%95%E4%B8%80%EF%BC%9A%E4%BB%A4f%28x%29%3D%281%2Bx%29%281%2Bx%5E%29%281%2Bx%5E3%EF%BC%89%E2%80%A6%EF%BC%881%2Bx%5E2009%29%28%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%3F%EF%BC%89%E5%88%99%E9%97%AE%E9%A2%98%E4%B8%AD%E8%A6%81%E6%B1%82%E7%9A%84%E7%AD%94%E6%A1%88%E4%B8%BAf%28x%29%E7%9A%84%E5%B1%95%E5%BC%80%E5%BC%8F%E4%B8%ADx%E7%9A%84%E5%A5%87%E6%AC%A1%E9%A1%B9%E7%9A%84%E7%B3%BB%E6%95%B0%E5%92%8C.%E6%95%85%E6%89%80%E6%B1%82%E7%9A%84%E7%AD%94%E6%A1%88)
集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为 答案为2^2008方法一:令f(x)=(1+x)(1+x^)(1+x^3)…(1+x^2009)(为什么?)则问题中要求的答案为f(x)的展开式中x的奇次项的系数和.故所求的答案
集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为
答案为2^2008
方法一:令f(x)=(1+x)(1+x^)(1+x^3)…(1+x^2009)(为什么?)
则问题中要求的答案为f(x)的展开式中x的奇次项的系数和.故所求的答案为(f(1)-f(-1))/2=(2^2009-0)/2=2^2008
另解:对集合{1,2,3,…,2009}的不含2009的子集A讨论,若A的个数之和为偶数则补入2009,否则不补,故共有2^2008个元素和为奇数的非空子集(为什么?)
请写出对以上两种解法的理解,不要另外的解法
集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为 答案为2^2008方法一:令f(x)=(1+x)(1+x^)(1+x^3)…(1+x^2009)(为什么?)则问题中要求的答案为f(x)的展开式中x的奇次项的系数和.故所求的答案
可以这样理解,先把集合{1,2,3,…,2009}中的偶数无数挑出来,组成集合B={2,4,6,…,2008}
可以看出,在集合B中加入奇数个奇数,方能使B满足题目中的条件,元素和为奇数的非空子集
而集合{1,2,3,…,2009}中奇数个为1005个,因此
元素和为奇数的非空子集的个数
=C(1005,1)+C(1005,3)+.+C(1005,1005)
根据二项式定理
C(1005,1)+C(1005,3)+.+C(1005,1005)=C(1005,0)+C(1005,2)+.+C(1005,1004)
因此,元素和为奇数的非空子集的个数
=C(1005,1)+C(1005,3)+.+C(1005,1005)
=1/2[C(1005,0)+C(1005,1)+.+C(1005,1005)]
=1/2*2^1005
=2^1004