设函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数f(x)的图像向左平移α个单位,得到函数y=g(x)的图像.若0<α<π/2,且g(x)是偶函数,求α的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 20:30:35
![设函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数f(x)的图像向左平移α个单位,得到函数y=g(x)的图像.若0<α<π/2,且g(x)是偶函数,求α的值.](/uploads/image/z/8754635-11-5.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D2cosx%28sinx%2Bcosx%29-1%2C%E5%B0%86%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%83%8F%E5%90%91%E5%B7%A6%E5%B9%B3%E7%A7%BB%CE%B1%E4%B8%AA%E5%8D%95%E4%BD%8D%2C%E5%BE%97%E5%88%B0%E5%87%BD%E6%95%B0y%3Dg%28x%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%83%8F.%E8%8B%A50%EF%BC%9C%CE%B1%EF%BC%9C%CF%80%2F2%2C%E4%B8%94g%28x%29%E6%98%AF%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%CE%B1%E7%9A%84%E5%80%BC.)
设函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数f(x)的图像向左平移α个单位,得到函数y=g(x)的图像.若0<α<π/2,且g(x)是偶函数,求α的值.
设函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数f(x)的图像向左平移α个单位,得到函数y=g(x)的图像.若0<α<π/2,且g(x)是偶函数,求α的值.
设函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数f(x)的图像向左平移α个单位,得到函数y=g(x)的图像.若0<α<π/2,且g(x)是偶函数,求α的值.
解:化简f(x) 显然.
f(x)=sin2x+cos2x,将f(x) 图象左移动α单位, 将(x+α) 代入式子中,既得 g(x),
g(x)=sin(2x+2α)+cos(2x+2α)
=sin2xcos2α+cos2xsin2α+cos2xcos2α-sin2xsin2α
=sin2x(cos2α-sin2α)+cos2x(sin2α+cos2α)
g(x)是偶函数..
g(x)=g(-x), 代入得,cos2α-sin2α=0,得tg2α=1 又0
f=2cosx(sinx+cosx)-1=2cosxsinx+2(cosx)^2-1=sin(2x)+cos(2x)
f=根号2cos(45-2x)
g=根号2cos(45-2(x+a)) (g=根号2cos2x是偶函数,比较得)
2a=45
a=22.5
∵f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1
=2sinxcosx+2cosxcosx-1
=sin2x+cos2x
=根2(2分之根2sin2x+2分之根2cos2x)
=根2 cos(2x-π/4)
∴g(x)=cos[2(x+α)-π/4]=cos(2x+2α-π/4)
结合余弦函数图像性质得2α-π/4=kπ (k∈Z)又0<α<π/2
∴α=π/8