已知函数f （x）是定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]上是x的一次式,又在[3,6]上是x的二次式,且当3≤x≤6时有f（x）≤f（5）＝3,f（6）＝2,求f（x）的表达式

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 20:07:39

已知函数f （x）是定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]上是x的一次式,又在[3,6]上是x的二次式,且当3≤x≤6时有f（x）≤f（5）＝3,f（6）＝2,求f（x）的表达式
已知函数f （x）是定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]上是x的一次式,又在[3,6]上是x的二次式,
且当3≤x≤6时有f（x）≤f（5）＝3,f（6）＝2,求f（x）的表达式

已知函数f （x）是定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]上是x的一次式,又在[3,6]上是x的二次式,且当3≤x≤6时有f（x）≤f（5）＝3,f（6）＝2,求f（x）的表达式
[-6,-3]上f(x)= x²+10x+22
[-3,3]上f(x)= -x/3
[3,6]上f(x)= -x²+10x-22
此题考查函数的连续性、二次函数对称轴与开口方向及其极值问题、一次函数的奇偶性必过原点等系列问题
1、且当3≤x≤6时有f（x）≤f（5）＝3,f（6）＝2,
在3≤x≤6时,可推断出此二次函数的对称轴为x=5,且开口向下
设f（x）=a（x+b）²+c
所以b=-5,c=3,再把点（6,2）带入
可得a=-1
所以f（x）=-（x-5）²+3=-x²+10x-22,顺便把f（3）=-1求出来,
2、f(x)在[0,3]上是x的一次式并且为奇函数
可推出函数必定过原点,则此段函数为f(x)=A x,
函数为连续函数则必定过（3,-1）
所以A=-1/3, f(x)= -x/3
3、通过奇偶性可推出
在[-3,0]上f(x)= -x/3
在[-6,-3]上f(x)= x²+10x+22

全部展开

当x在[3，6]时，f(x)可写成a(x-b)^2+c的形式
当3≤x≤6时有f（x）≤f（5）＝3，
即x=5是二次式的对称轴,过点(5,3)，即b=5，c=3
且二次式开口向下a<0,过点(6,2)代入，解得a=-1
所以当3≤x≤6时f(x)=-(x-5)^2+3,
f(x)过点(3,-1)
又f(x)在[0,3]上是x的一次式，f （x）是定义在[-6,6]上的奇函数
所以f(x)过原点，
所以f(x)在[0,3]上的x的一次式为y=-1/3x
由此可知，
f(x)在[-3，0]上的x的一次式也为y=-1/3x
f(x)在[-6,-3]上的x的二次式y=(x+5)^2-3
综上,
f(x)在[-6,-3]上的x的二次式y=(x+5)^2-3
f(x)在[-3，3]上的x的一次式也为y=-1/3x
当3≤x≤6时f(x)=-(x-5)^2+3

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