已知a>0b>0,求证a^3+b^3>=a^2b+ab^2

已知a>0b>0,求证a^3+b^3>=a^2b+ab^2
已知a>0b>0,求证a^3+b^3>=a^2b+ab^2

已知a>0b>0,求证a^3+b^3>=a^2b+ab^2
∵a>0,b>0
∴(a-b)^2≥0
即a^2-2ab+b^2≥0
即a^2-ab+b^2≥ab
又∵a>0,b>0
∴a+b>0
∴(a+b)(a^2-ab+b^2)≥(a+b)ab
即a^3+b^3≥a^2b+ab^2

因为a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2) （1）
a^2b+ab^2＝（a+b）ab （2）
（1）-（2）有
（a^3+b^3）-（a^2b+ab^2）＝(a+b)(a^2-ab+b^2)-（a+b）ab
＝（a+b）（a^2-2ab+b^2）＝（a+b）（a-b）^2
又a>0 b>0
所以 ...

全部展开

因为a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2) （1）
a^2b+ab^2＝（a+b）ab （2）
（1）-（2）有
（a^3+b^3）-（a^2b+ab^2）＝(a+b)(a^2-ab+b^2)-（a+b）ab
＝（a+b）（a^2-2ab+b^2）＝（a+b）（a-b）^2
又a>0 b>0
所以 a+b>0 （a-b）^2>=0
即（a^3+b^3）-（a^2b+ab^2）>=0
a^3+b^3>=a^2b+ab^2
命题得证

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