已知α,β∈(0,π/2),且sinα=sinβcos(α+β).当tanα取最大值时,求tan(α+β)的值.我今天马上就需要答案.拜托大家帮忙.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 13:39:44
![已知α,β∈(0,π/2),且sinα=sinβcos(α+β).当tanα取最大值时,求tan(α+β)的值.我今天马上就需要答案.拜托大家帮忙.](/uploads/image/z/7200640-64-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%CE%B1%2C%CE%B2%E2%88%88%280%2C%CF%80%2F2%29%2C%E4%B8%94sin%CE%B1%3Dsin%CE%B2cos%28%CE%B1%2B%CE%B2%29.%E5%BD%93tan%CE%B1%E5%8F%96%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E6%97%B6%2C%E6%B1%82tan%28%CE%B1%2B%CE%B2%29%E7%9A%84%E5%80%BC.%E6%88%91%E4%BB%8A%E5%A4%A9%E9%A9%AC%E4%B8%8A%E5%B0%B1%E9%9C%80%E8%A6%81%E7%AD%94%E6%A1%88.%E6%8B%9C%E6%89%98%E5%A4%A7%E5%AE%B6%E5%B8%AE%E5%BF%99.)
已知α,β∈(0,π/2),且sinα=sinβcos(α+β).当tanα取最大值时,求tan(α+β)的值.我今天马上就需要答案.拜托大家帮忙.
已知α,β∈(0,π/2),且sinα=sinβcos(α+β).当tanα取最大值时,求tan(α+β)的值.
我今天马上就需要答案.拜托大家帮忙.
已知α,β∈(0,π/2),且sinα=sinβcos(α+β).当tanα取最大值时,求tan(α+β)的值.我今天马上就需要答案.拜托大家帮忙.
sinβ/sinα=cosα*cosβ-sin*αsinβ ……①
①*(sin/αcosβ)得到 tanβ=sinαcosα-sin^2αtanβ
移项再除(1+sin^2α)得到tanβ=sinacosa/(1+sin^2α)
因为1=sin^2α+cos^2α所以sinαcos/α(1+sin^2α)=
sinαcos/α(2sin^2α+cos^2α)……②
②的分子分母同时除cos^2α得到:tan/α(2tan^2α+1)……③
1/③=1/[(2tan^2+1)/tanα]即1/[2tanα+2/2tanα]……④
因为α为锐角所以tanα》0,求tanβ的最大值就是求④的最大值
则要求2tanα+2/2tanα最小值,根据基本不等式得到2tanα+2/2tanα≥2倍根号2
所以1/[2tanα+2/2tanα]最大值为1/2倍根号2
即tanβ的最大值:(根号2)/4
.
sinβ/sina=cosa*cosβ-sina*sinβ
sinβ=sina*cosa*cosβ-sina*sina*sinβ 同除cosβ
tanβ=1/2*sin2a+tanβ*(cos2a-1)/2 移项,合并
tanβ=sin2a/(3-cos2a) 利用万能公式
tanβ=tana/(1+2tana*tana) 右边同除tana
=1/(1/tana+2tana) 利用a+b≥2√(ab)当且 仅当a=b时取等号.
有tanβ≤1/2√2=√2/4,当tana=√2/2时取等号,即最大值为√2/4
sina
=sin(a+b-b)
=sin(a+b)cosb-sinbcos(a+b)
=sinbcos(a+b)
所以sin(a+b)cosb=2sinbcos(a+b)
tan(a+b)=2tanb
tana
=tan(a+b-b)
=[tan(a+b)-tanb]/(1+tan(a+b)tanb)
=tanb/(1+2t...
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sina
=sin(a+b-b)
=sin(a+b)cosb-sinbcos(a+b)
=sinbcos(a+b)
所以sin(a+b)cosb=2sinbcos(a+b)
tan(a+b)=2tanb
tana
=tan(a+b-b)
=[tan(a+b)-tanb]/(1+tan(a+b)tanb)
=tanb/(1+2tan²b)
=1/((1/tanb)+2tanb)
<=1/(2根号2)
=(根号2)/4
当tana取最大值时,1/tanb=2tanb,tanb=(根号2)/2
所以tan(a+b)=2tanb=根号2
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