已知椭圆c:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点p(2,1),离心率e=(根号3)/2直线L与椭圆c交于A,B两点(A,B均异于P),且有PA向量点乘PB向量=0,求证直线L过定点
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/16 15:30:39
![已知椭圆c:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点p(2,1),离心率e=(根号3)/2直线L与椭圆c交于A,B两点(A,B均异于P),且有PA向量点乘PB向量=0,求证直线L过定点](/uploads/image/z/6855662-38-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86c%3Ax%26%23178%3B%2Fa%26%23178%3B%2By%26%23178%3B%2Fb%26%23178%3B%3D1%EF%BC%88a%3Eb%3E0%29%E8%BF%87%E7%82%B9p%282%2C1%29%2C%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87e%3D%EF%BC%88%E6%A0%B9%E5%8F%B73%EF%BC%89%2F2%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%E4%B8%8E%E6%A4%AD%E5%9C%86c%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%EF%BC%88A%2CB%E5%9D%87%E5%BC%82%E4%BA%8EP%29%2C%E4%B8%94%E6%9C%89PA%E5%90%91%E9%87%8F%E7%82%B9%E4%B9%98PB%E5%90%91%E9%87%8F%3D0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%E8%BF%87%E5%AE%9A%E7%82%B9)
已知椭圆c:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点p(2,1),离心率e=(根号3)/2直线L与椭圆c交于A,B两点(A,B均异于P),且有PA向量点乘PB向量=0,求证直线L过定点
已知椭圆c:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点p(2,1),离心率e=(根号3)/2
直线L与椭圆c交于A,B两点(A,B均异于P),且有PA向量点乘PB向量=0,求证直线L过定点
已知椭圆c:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点p(2,1),离心率e=(根号3)/2直线L与椭圆c交于A,B两点(A,B均异于P),且有PA向量点乘PB向量=0,求证直线L过定点
椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点P(2,1),
∴4/a^2+1/b^2=1,①
离心率e=c/a=√3/2,
∴a^2=4c^2/3,b^2=c^2/3,代入①,6/c^2=1,c^2=6,
∴a^2=8,b^2=2,椭圆C的方程是x^2/8+y^2/2=1.②
设L:y=kx+m,③
代入②*8,得x^2+4(k^2x^2+2kmx+m^2)=8,
整理得(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-8)/(1+4k^2),
向量PA*PB=(x1-2,y1-1)*(x2-2,y2-1)
=(x1-2)(x2-2)+(kx1+m-1)(kx2+m-1)(由③)
=(1+k^2)x1x2+[k(m-1)-2](x1+x2)+4+(m-1)^2
=[(1+k^2)(4m^2-8)-8km(km-k-2)]/(1+4k^2)+4+(m-1)^2=0,
∴(1+k^2)(4m^2-8)-8km(km-k-2)+(1+4k^2)[4+(m-1)^2]=0,
整理得4k^2*[m^2-2-2m^2+2m+4+(m-1)^2]+16km+4m^2-8+4+(m-1)^2=0,
12k^2+16km+5m^2-2m-3=0,
解得k=(1-m)/2,或k=-(5m+3)/6,
∴L:y=(1-m)x/2+m,(A,B均异于P,舍)
或y=-(5m+3)x/6+m,过定点(6/5,-3/5).证完.
郭敦顒回答:
椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点p(2,1),离心率e= c/ a=(√3)/2
4/a²+1/b²=1 (1)
c =(√3)a/2 (2)
b2+c2=a2, (3)
(2)代入(3)得,b2+(3/4)a2=a2,b2=(1/4)a2 (4)<...
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郭敦顒回答:
椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点p(2,1),离心率e= c/ a=(√3)/2
4/a²+1/b²=1 (1)
c =(√3)a/2 (2)
b2+c2=a2, (3)
(2)代入(3)得,b2+(3/4)a2=a2,b2=(1/4)a2 (4)
(4)代入(1)得,4/a²+4/a²=1,a2=8,
∴a=2√2,b2=(1/4)a2=2,b=√2,
c 2= a2-b2=8-2=6,c=√6,
椭圆方程为C:x²/8+y²/2=1
焦点坐标为F1(-√6,0),F2(√6,0),
∵直线L与椭圆c交于A,B两点(A,B均异于P),且有PA向量点乘PB向量=0,
∴PA⊥PB,
当B点坐标为B(-2,1),A点坐标为A(2,-1)时,直线L经过点O,但是,当B点坐标为B(-2√2,0)时,A点坐标并不在(2√2,0),而在X轴的下方,此时,直线L不经过点O,
∴命题“直线L过定点”为伪命题。
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