已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1 于M、N两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰是椭圆的右焦点,求直线L的方程.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 23:29:36
已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1 于M、N两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰是椭圆的右焦点,求直线L的方程.

已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1 于M、N两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰是椭圆的右焦点,求直线L的方程.
已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1 于M、N两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰是椭圆的右焦点,求直线L的方程.

已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1 于M、N两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若三角形BMN的重心恰是椭圆的右焦点,求直线L的方程.
重心是中位线交点.
设L:y=kx+b,   M (x1,y1),   N(x2,y2)
如图MP=NP   3FP=BP   P是MN中点
所以向量BF=2*向量FP   
向量BF=（2,-4）  向量FP  =（（x1+x2)/2-2,(y1+y2)/2)
据向量BF=2*向量FP   解得x1+x2=6,y1+y2=-4,所以P（3,-2）
y1+y2=k(x1+x2)+2b
所以-4=6k+2b.(1)
联立x^2/20+y^2/16=1和y=kx+b,
得（4+5k^2)x^2+10kbx+5b^2-80=0
6=x1+x2=-(10k^2)/（4+5kb).(2)
根据（1）（2）解得k=6/5  b=-28/5
所以L  y=6/5x-28/5

设直线方程：y=kx+b(其他一样），与椭圆联立得到x1+x2和y1+y2(含有k和b).F2是右焦点，知到坐标。又是重心，通过三角形性质，找出M、N两点中点的坐标（用x1、x2、y1、y2），得到中点与中心的关系，求出重点坐标，解出x1+x2和y1+y2，求出直线的方程

由题意得：
由相似可求得：
三角形中点坐标是（3，-2）
设直线方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得（5k^2+4)+10kb+5b^2-80=0
x1+x2=-b/a=-10kb/5k^2=4=6 ①
将（3，-2)代入y=kx+b得b=-2-3k ②
将①代入②得 20k=24
解得k=6/5 ③
将③...

全部展开

由题意得：
由相似可求得：
三角形中点坐标是（3，-2）
设直线方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得（5k^2+4)+10kb+5b^2-80=0
x1+x2=-b/a=-10kb/5k^2=4=6 ①
将（3，-2)代入y=kx+b得b=-2-3k ②
将①代入②得 20k=24
解得k=6/5 ③
将③代入②得-28/5
所以y=6/5x-28/5
整理得6x-5y-28=0

收起

已知椭圆C:4x^2+y^2=1及直线l:y=x+m.(1) 求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹.(2)若直线l交椭圆C于P.Q...已知椭圆C:4x^2+y^2=1及直线l:y=x+m.(1) 求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹.(2)若直线l交椭圆C于 已知椭圆C:4x^2+y^2=1及直线l:y=x+m.(1) 求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹.(2)若直线l交椭圆C于P.Q...已知椭圆C:4x^2+y^2=1及直线l:y=x+m.(1) 求直线l被椭圆C截得的弦的中点的轨迹.(2)若直线l交椭圆C于 已知直线l交椭圆x^2/20+y^2/16＝1于B,C两点,点A（0,4）,当椭圆右焦点F2恰为三角形ABC重心时,求直线l方程 已知斜率为1的直线L经过椭圆X^2/4+Y^2=1的右焦点,交椭圆于A、B,求弦长AB 已知椭圆的方程为x^2/20+y^2/5=1,直线l:y=x+m交椭圆于A、B两不同的点 1,求m的取值范围 2,已知点M（4,1）已知椭圆的方程为x^2/20+y^2/5=1,直线l:y=x+m交椭圆于A、B两不同的点 1,求m的取值范围 2,已知点M（ 直线l与椭圆x^2/4+y^2=1交于p,q两点,已知l的斜率为1,求pq中点轨迹方程 已知椭圆方程x²/4+y²=1 ,直线l:y=kx+根号2与椭圆交于AB两点,当OA⊥OB时,求直线l方程 已知椭圆M为y^2/4+x^2/2=1,A(1,√2).已知直线l的斜率为√2,若直线l与椭圆M交于B,C两点,求ABC面积的最大值 直线l与椭圆x^2/4+y^2=1交于P,Q两点,已知直线斜率为1,则弦PQ中点的轨迹方程为 已知椭圆c：4x∧2+y∧2＝1及直线l：y＝x+m,m属于R1,若直线l被椭圆c截得的弦长为(2√2)/5,求直线l的方程.2,若直线l交椭圆c于a,b两点,且oa垂直于ob,求直线l的方程.求直线l被椭圆c截得的弦的中点轨迹 已知椭圆c：4x∧2+y∧2＝1及直线l：y＝x+m,m属于R1,若直线l被椭圆c截得的弦长为(2√2)/5,求直线l的方程.2,若直线l交椭圆c于a,b两点,且oa垂直于ob,求直线l的方程.3,求直线l被椭圆c截得的弦的中点轨 已知椭圆x^2/2 y^2=1右焦点f,直线l经过点f,与椭圆交于a,b且|ab|=4倍的根号2/3,（1）求直线l的方程 已知中心在原点的椭圆方程为X^2/3+y^2=1,斜率为1的直线L交椭圆于A.B两点,求三角形AOB面积最大时,直线L的方程 椭圆数学题、直线l与椭圆x^2/4 + y^2 = 1交于PQ两点,已知直线l的斜率为1,求弦PQ中点的轨迹方程 高中直线与椭圆习题直线L与椭圆(x^2/4)+y^2=1 交于P,Q两点,已知L的斜率为1,则弦PQ中点轨迹方程是? 已知椭圆x^2/5+y^2/4=1,过右焦点F2的直线l交椭圆于AB两点,若|AB|=16√5/9,则直线l的方程是? 已知直线l经过椭圆(X^2)/5+（Y^2)/4=1的右焦点F2,与椭圆交于A,B两点,弦AB长（5√3）/3,求直线l方程. 已知椭圆x²/16＋y²/4＝1、过点p（2,1）作一条直线l交椭圆于A,B,且弦AB被点p平分,则直线l的方程为?