作业帮定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：对任意x,y（-1,1）,都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].求证：函数f(x)是奇函数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 05:58:38
![定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：对任意x,y（-1,1）,都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].求证：函数f(x)是奇函数.](/uploads/image/z/6775667-35-7.jpg?t=%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8%EF%BC%88-1%2C1%EF%BC%89%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%BB%A1%E8%B6%B3%EF%BC%9A%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8Fx%2Cy%EF%BC%88-1%2C1%EF%BC%89%2C%E9%83%BD%E6%9C%89f%28x%29%2Bf%28y%29%3Df%5B%28x%2By%29%2F%281%2Bxy%29%5D.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%98%AF%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0.)
定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：对任意x,y（-1,1）,都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].求证：函数f(x)是奇函数.
定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：对任意x,y（-1,1）,都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].求证：函数f(x)是奇函数.
定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：对任意x,y（-1,1）,都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].求证：函数f(x)是奇函数.
由题有：对任意x,y（-1,1）,都有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].
取x=y=0;
f(0)+f(0)=f[(0)/(1+0)]=f(0)
因此f(0)=0,
且定义域（-1,1）关于原点对称.
又:
令y=-x代入f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].
f(x)+f(-x)
=f[(x-x)/(1-x^2)]--------1式
因为x属于（-1,1）,所以x^2不为1,
1式为;f(x)+f(-x)=f(0)=0;
因此f(-x)=-f(x)
综上,函数f(x)是奇函数.
证毕!
f(0)+f(0)=f[(0)/(1+0)]=f(0)
f(0)=0,
令y=-x代入f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].
f(x)+f(-x)=f[(x-x)/(1-x^2)]
因为x,y（-1，1），x^2不为1，
上式为f(x)+f(-x)=f(0)=0
f(-x)=-f(x)
由奇函数定义f（X）=-f(-X)
令X=0,Y=0则有f（0）+f（0）=f（0）显然 f（0）=0
再令X=-Y则F(X)+F(-X)=F(0)即f（X）=-f(-X)
得证
我也是高一新生哦，
要加油哦！~~~
取x=y=0;
f(0)+f(0)=f[(0)/(1+0)]=f(0)
因此f(0)=0,
使y=-x
所以f(x)+f(-x)=f(0)
所以f(-x)=-f(x)
因此f(x)为奇函数
那三个答案是笔误了吧
奇函数是不是应该是f(-x)=-f(x)